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partielle Ableitung eines Bruches

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Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

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csam6189

csam6189 aktiv_icon

08:04 Uhr, 03.12.2011

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Hallo!

Habe eine Frage zur Ableitung von folgenden Bruch:

x 1 (p 1, p 2, m) = \frac{p 2 \cdot m}{4 p 1^{2} + p 1 \cdot p 2}

Die partielle Ableitung dieses Terms nach

p 1

soll nach unbestätigten Quellen folgende sein:

= (- p 2 \cdot m {(4 \cdot p 1^{2} + p 1 \cdot p 2)}^{- 2} \cdot (8 \cdot p 1 + p 2)

Weiß jemand ob dieses Ergebnis stimmt bzw. könnte mir eventuell jemand erklären wie man auf ein solches Ergebnis kommt?

Wenn ich nach

p 1

ableite bekomm ich nämlich folgendes heraus:

= \frac{p 2 \cdot m}{8 p 1 + p 2}

lg

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

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LK-ler

LK-ler aktiv_icon

10:17 Uhr, 03.12.2011

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Hallo,

deine unbestätigte Quelle hat recht.

Kann es sein, dass du einfach den Nenner abgeleitet und so wieder unter den Bruchstrich geschrieben hast?

Wenn du jedenfalls die Quotientenregel anwendest, ist das Ergebnis deiner Quelle das erste Zwischenergebnis (möglicherweise noch vereinfachbar).

Grüße,

LK-ler

csam6189

csam6189 aktiv_icon

11:58 Uhr, 03.12.2011

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Hi!

Danke für deine Antwort! Wenn ich nach

p 2

ableite und die Quotientenregel anwende erhalte ich folgendes Ergebnis:

= \frac{m \cdot (4 p 1^{2} + p 1 \cdot p 2) - p 2 \cdot m \cdot (8 p 1 + p 1)}{{(4 p 1^{2} + p 1 \cdot p 2)}^{2}}

Könntest du mir vielleicht noch kurz erklären durch welche Maßnahmen bzw. Schritte ich auf das oben angeführte Ergebnis meiner Quelle komme?

lg

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DmitriJakov

DmitriJakov aktiv_icon

12:41 Uhr, 03.12.2011

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Das passt jetzt nicht, denn wenn Du

4 p_{1}^{2} + p_{1} \cdot p_{2}

nach

p_{2}

partiell ableitest, dann bekommst Du:

0 + p_{1}

Die gesamte Ableitung lautet also:

\frac{m \cdot (4 p_{1}^{2} + p_{1} p_{2}) - p_{2} m \cdot p_{1}}{{(4 p_{1}^{2} + p_{1} p_{2})}^{2}}

csam6189

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13:58 Uhr, 03.12.2011

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Hey!

Entschuldige ich hab mich da vertan, ich muss nämlich nach

p 1

ableiten. Würde dann wohl lauten:

= \frac{(4 p 1^{2} + p 1 \cdot p 2) - p 2 \cdot m \cdot (8 p 1 + p 2)}{{(4 p 1^{2} + p 1 \cdot p 2)}^{2}}

Mein Problem ist das ich nicht versteh wie ich von dieser Ableitung auf die folgende Form komme:

- p 2 \cdot m \cdot {(4 p 1^{2} + p 1 \cdot p 2)}^{- 2} \cdot (8 \cdot p 1 + p 2)

Kannst du mir da weiterhelfen?

lg

Antwort

DmitriJakov

DmitriJakov aktiv_icon

14:06 Uhr, 03.12.2011

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Wenn Du nach

p_{1}

ableitest, dann ist die Ableitung des Zählers Null, denn

\frac{\partial p_{2} \cdot m}{\partial p_{1}} = 0

Also ist nach der Quotientenregel:

\frac{0 \cdot (4 p_{1}^{2} + p_{1} p_{2}) - p_{2} m \cdot (8 p_{1} + 1 \cdot p_{2})}{{(4 p_{1}^{2} + p_{1} p_{2})}^{2}}

csam6189

csam6189 aktiv_icon

14:20 Uhr, 03.12.2011

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Ja danke hast recht. Jetzt kann ich den Nenner mit hoch

- 2

raufholen oder?

Antwort

DmitriJakov

DmitriJakov aktiv_icon

14:22 Uhr, 03.12.2011

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Ja, kannst Du, wenn Du möchtest.

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