partielle Ableitung mit Extrempunkten

Hallo,

die Funktion hat keine lokalen Extrema oder Sattelpunkte. Wie lautet denn die genaue Fragestellung?

Übrigens ist ln(xy)=lnx+lny nicht problemlos, da für x<0 und y<0 zwar die linke, nicht aber die rechte Seite definiert ist. (Fallunterscheidung notwendig)

Außerdem ist die Schreibweise f'(x) und f'(y) Unsinn.

Das muss ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>};\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ und ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>};\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ oder ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\partial \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>};\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ und ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\partial \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>};\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ heißen.

Gruß

Stephan

Man konnte ahnen, was Du meintest ;-)

Bei dem gegebenen Definitionsbereich kannst Du ln(xy)=lnx+lny natürlich benutzen.

d) ist ja nun erledigt

e) Du kannst R- x R- hinzunehmen (dann allerdings nicht mehr so umformen, aber die Ableitungen bleiben trotzdem richtig)

Den Rest kannst Du alleine?

Lokale Extrema bzw. Sattelpunkte zweimal stetig differenzierbarer Funktionen haben eine horizontale Tangentialebene, also ist fx = 0 und fy = 0 ein notwendiges Kriterium, aber diese Gleichungen habn keine Lösung (wie Du selbst bemerkt hast)

Bei b) ist z0 = 1, also 1=ln(xy)+1 oder ln(xy)=0, was xy=1 oder y=1/x bedeutet.

Gerne und wenn noch etwas unklar ist, fragst Du halt noch mal.