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partielle ableitung in eimem Punkt

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Ableitung, Partielle Differentialgleichungen

SoAlbrec aktiv_icon

18:56 Uhr, 27.02.2015

Hallo,

ich suche die partielle Ableitung der unten stehenden Funktion von

F (0,0)

im Punkt

(0,0)

F (x, y) = \frac{3 x^{2} y - y^{3}}{x^{2} + y^{2}}

ich habe bereits die partiellen Ableitungen nach

x :

d_1/df=(8y^3*x)/(y^2+x^2)^2 und nach

y :

d_2/df=(-3x^4+6x^2*y^2+4y^3)/(x^2+y^2)^2

nun würde ich für

x, y

einfach

0,0

einsetzen, komme dann aber auf

\frac{0}{0}

. Das ist mein erstes Problem. Mein zweites Problem: was soll ich mit der Information "im Punkt (0,0)" anfangen?

Ich habe ebenfalls versucht, die partiellen Ableitungen

= 0

zu setzten. Dann komme ich für auf 0=8xy^3 bzw

0 = 3 x^{4} + 6 x^{2} \cdot y^{2} + 4 y^{4}

. Nützt mir das irgendetwas?

Des Weiteren benötige ich die Richtungsableitung von

f (x, y)

an der Stelle

(0,0)

in Richtung

r = (1,2)

Betrag

(r) = \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{5}}

. Soweit, so klar. Klar ist auch, dass ich (Fx(x,y),

F {(x, y)}^{- 1}

skalar mit r/Betrag(r) multiplizieren muss. Was ist r/Betrag

(r)

?

Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?

Vielen Dank!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

19:09 Uhr, 27.02.2015

Hallo
erster Schritt, ist die Funktion stetig in(

0,0)

wenn nicht ist sie auch nicht differenzierbar! erst mal ist sie da nicht definiert, ist also

F (0,0)

angegeben?

z . B

F (0,0) = 0

? wenn nicht ist die Aufgabe erledigt, in eine nicht definierten Punkt gibt es keine Ableitungen.
jetzt nehm ich al an,

F (0,0)

ist gegeben, dann musst du die Def, der partiellen Ableitung nehmen und den GW bilden, falls er existiert.

F_{y}

und

F_{y}

sind auf jeden Fall bei 0 nicht stetig.
Gruß ledum

SoAlbrec aktiv_icon

09:57 Uhr, 28.02.2015

F (0,0) = 0

ist gegeben.

Außerdem stelle ich die Frage auch ganz grundsätzlich, wie ist hier das Vorgehen?

Kann mir auch den zweiten Frageteil jemand beantworten?

Vielen Dank!

pwmeyer aktiv_icon

10:10 Uhr, 28.02.2015

Hallo,

zur Berechnung der partiellen Ableitung von

F

im Punkt

(0,0)

musst Du den Grenzwert von

\frac{F (h,0) - F (0,0)}{h}

für

h \to 0

untersuchen.

\frac{1}{| r |} r = (\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})

Ich fürchte, dass

F \in (0,0)

nicht differenzierbar ist und deshalb die Formel für die Richtungsableitung nicht gilt. Du musst dann mit der ursprünglichen Definition arbeiten - aber das weiß man erst, wenn die Ableitungen geklärt sind.

Gruß pwm

SoAlbrec aktiv_icon

11:57 Uhr, 28.02.2015

Vielen Dank bis hierher!

Die Ableitungen hab ich ja oben schon mit rein geschrieben. Demnach ist

F \in (0,0)

nicht differenzierbar.

Was bedeutet dann für die Richtungsableitung "mit der ursprünglichen Definition arbeiten"?

ledum aktiv_icon

12:55 Uhr, 28.02.2015

Hallo
du musst mit der Def über den GW arbeiten, wie er im vorigen post steht.
Gruß ledum

pleindespoir aktiv_icon

12:58 Uhr, 28.02.2015

Ich hätte da mal so eine Idee:
Der normierte Richtungsvektor um den Punkt(0,0) lässt sich doch praktischerweise mit

\vec{r} = (a \cos φ, a \sin φ)^{T}, a = 1

beschreiben.
Substituiert man nun

x = \cos φ

und

y = \sin φ

und setzt dies in

\nabla

ein, erhält man für jedes

φ \in {0, 2 π}

eine definierte Steigung.

Nun lässt man grenzwertig a gegen Null laufen.

pwmeyer aktiv_icon

14:57 Uhr, 28.02.2015

Hallo,

"Was bedeutet dann für die Richtungsableitung "mit der ursprünglichen Definition arbeiten"?"

Siehe Wikipedia

Gruß pwm

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