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periodische Rechteckfunktion, Fourier

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Funktionen

Tags: Funktion

MathMP

19:28 Uhr, 16.08.2024

Hallo, ich habe eine periodische Rechteckfunktion (siehe bitte Bild unten, klickt man darauf wird es größer) gegeben. Ich möchte nun aus dieser die Amplitude der Grundschwingung berechnen, mithilfe Fourier.

Die Grundformel lautet ja:

a_{1} = \frac{1}{π} \cdot \int_{0}^{2 \cdot π} f (x) \cdot cos (x) d x

Angewendet und ausgenutzt, dass die Funktion periodisch ist:

a_{1} = \frac{2}{π} \cdot [\int_{0}^{\frac{π}{4}} 40 \cdot cos (φ) d φ - \int_{3 \cdot \frac{π}{4}}^{π} 40 \cdot cos (φ) d φ] = 36.01

Dies müsste nun die Amplitude der Grundschwingung (Sinusschwingung) sein.

Habe ich mit meinen Überlegungen recht oder ist etwas unrichtig?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

calc007

21:38 Uhr, 16.08.2024

Hallo
Ich hab's nicht im Detail nachvollzogen.
Aber du hast ja soweit ich es sehe nur den Kosinus-Anteil bestimmt.
Wie lautet denn der Sinus-Anteil?

"...ausgenutzt, dass die Funktion periodisch ist:"
Das haben Fourier-Analysen so an sich.

HAL9000

22:56 Uhr, 16.08.2024

@MathMP

Die Integralgrenzen in deiner Rechnung passen nicht zu der

2 π

-periodischen Funktion in deiner Skizze: Sie sind durchgängig um den Faktor 2 zu klein.

Und ja, der Sinusanteil fehlt auch noch, denn es liegt hier keine gerade Funktion vor.

EDIT: Ok, jetzt kapiere ich erst:

Du bestimmst nicht die Fourierreihe zu der in der Abbildung dargestellten Funktion

g (x)

, sondern zu der verschobenen Funktion

f (x) := g (x + \frac{3}{4} π)

, die dann tatsächlich gerade ist.

Sowas kannst du aber auch ruhig mal dazu sagen, statt die Leute rätseln zu lassen, was du da (auf den ersten Blick) seltsames tust. :(

MathMP

09:14 Uhr, 17.08.2024

Ja, entschuldigt bitte die nicht vorhandene Erlaüterung.

Ich habe die Funktion sozusagen verschoben, sodass nun der Koordinatenursprung dort ist, wo zuvor

3 \cdot \frac{π}{4}

ist.
Somit bekomme ich eine gerade Funktion und der Sinus fällt daher weg.
Außerdem habe ich die Periodizität der Funktion ausgenutzt und deshalb den Faktor 2 vor die Formel gezogen und dadurch nur über eine halbe Periode integriert.

Sollte stimmen, oder?

Roman-22

09:41 Uhr, 17.08.2024

>

Sollte stimmen, oder?

Ja,

\frac{80 \sqrt{2}}{π} \approx 36,013

ist die Amplitude der Grundschwingung.

MathMP

14:57 Uhr, 18.08.2024

Vielen Dank

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