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phi
Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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anonymous 20:12 Uhr, 27.03.2005  |
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Also, ich habe ein buch gelesen, in dem die zahl phi(1,618) vorkommt. Was ist das für eine Zahl und was kann man damit berechnen? Ich habe gehört, dass diese Zahl als harmonischste der gesamten Schöpfung gilt und sie aus der Fibonacci-Folge abgeleitet ist. |
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anonymous 22:14 Uhr, 27.03.2005 |
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Die (für mich zumindest) nachvollziehbarste Methode dies Zahl zu berechnen, ist mittels der Fibonacci Folge, die rekursiv so definiert ist: f_0:=0, f_1:=1, f_(n+1):=f_n + f_(n-1), man addiert also immer die vorhergehenden beiden Zahlen um die nächste zu erhalten, wobei die ersten beiden 0 und 1 gesetzt werden (man muss ja schließlich irgendwo anfangen.) Das sieht dann so aus: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... Der Grenzwert der Folge (a_n+1 / a_n) ist dann diese Zahl Phi. Man teilt also immer eine Zahl durch ihren Vorgänger und nähert sich so der Zahl an. 1/1 =1 2/1 = 2 3/2 = 1,5 5/3 = 1,66 8/5 =1,6 ... 233/144= 1,61805... Da diese Zahl scheinbar auch eine charakteristische Zahl für viele andere Verhältnisse ist (goldener Schnitt, Verhältnis flächengleicher Kreise und Vierecke, etc...) soll dies laut einigen Quellen DIE Zahl sein, die das Universum zusammenhält, ich bin da aber jetzt auch nicht so informiert. Ich finde das ganze viel eher deswegen interessant, weil ich eine neue transzendente Zahl kennengelernt habe. :) |
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anonymous 22:37 Uhr, 27.03.2005 |
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Oh mann, jetzt hat mich das Interesse gepackt. :) Ich hab hier noch ein paar interessante Links gefunden: www.elliottwave-investor.de/Research/Online-Kompendium/Fibonacci-Relationen/body_fibonacci-relationen.html www.flanagan-neurophone.com/Home/phi/phi.html Was ich aber jetzt echt mal gerne wissen würde ist, wie man beweist, dass diese Folge überhaupt konvergiert? Hat da jemand eine Ahnung? |
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anonymous 10:52 Uhr, 28.03.2005 |
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Hmmm... ja. Überleg dir das mal so: wenn a_n die n-te Fibonacci-Zahl bezeichnet, dann gilt ja laut Formel: a_n=a_(n-1)+a_(n-2). Für den Quotienten gilt: a_(n+1)/a_n=(a_n+a_(n-1))/a_n=1+a_(n-1)/a_n >= 1 Da die Folge a_n sicher ab n>=2 monoton wachsend ist gilt sicher auch: 1+a_(n-1)/a_n <= 2 Es gibt also unendlich viele solche Quotienten zwischen 1 und 2. Folglich müssen sie sich mindestens an einem Punkt häufen. Da diese quotienten selbst zur einen Hälfte aber auch monoton wachsend sind und zur anderen Hälfte monoton fallend sind, müssen sie sich sogar an höchstens zwei Punkten häufen. Man kann sich dann weiter überlegen, dass die wachsende Hälft und die Fallende Hälfte beim selben Punkt häuft. Und daraus folgt die Konvergenz. Ich bin mir ehrlich gesagt nicht sicher, ob du das alleine schaffen würdest. Ich studiere Mathe und obwohl man solche Sachen schon im 1. Semester macht, habe ich jetzt ca. 30 min dafür gebraucht und die Rechnung wäre in plain-ASCII zu unübersichtlich. Solltest du dich aber für den Beweis detailliert interessieren, dann schreib mir einfach eine Mail und ich tippe es für dich ab und schicks dir dann als pdf. lg Samuel Ferraz-Leite P.S.: Ich freue mich, dass es noch Schüler gibt, die sich für die Mathematik so sehr interresieren und kann dir, falls du möchtest einen Artikel von einem Professor von mir (Prof. Winkler) zu einem ähnlich interessanten Thema auf AHS-Niveau schicken. |
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anonymous 16:56 Uhr, 28.03.2005 |
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Man sollte vielleicht erwähnen, dass ich auch Mathe studiere (1. Semester) und der Thread hier ja nicht von mir eröffnet wurde, sondern, dass ich ja eigentlich nur die Frage beantworten wollte :). In der Folgezeit hab mir dann halt Gedanken über das Thema gemacht... :) Also die Beweisidee hab ich an sich schon verstanden. Habe mir auch gedacht, dass es vermutlich zwei konvergente Teilfolgen gibt, die gegen den Grenzwert konvergieren - einmal von oben und einmal von unten sozusagen. Man müsste sich nun wohl nur überlegen, wie man diese beiden Teilfolgen darstellen kann, um dann zu zeigen, dass sie einerseits monoton sind und andererseits beschränkt, woraus dann ja die Konvergenz folgt, wenn ich nicht irre. Im letzten Schritt müsste man dann nur noch zeigen, dass sie gegen denselben grenzwert konvergieren. Aber mein Problem liegt schon beim ersten Schritt...wie sehen diese beiden Teilfolgen aus? :) |
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