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positiv definit <-> positive EW (mittels Lagrange)

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Funktionalanalysis

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Matrizenrechnung

Tags: Eigenwert, Funktion, Funktionalanalysis, Matrizenrechnung

sabsi

20:13 Uhr, 08.05.2022

Hey,

Wie unten beschrieben soll ich zeigen dass eine Matrix positiv definit ist, genau dann wenn alle EW positiv sind.

.........
Meine Idee wäre hier dass ich in eien RIchtung annehme dass es einen EW<0 gäbe. was zu einem Widerspruch zu xAx>0 führt.
Die andere RIchtung müsste ich mir noch überlegen...

Aber ich muss ja hier Lagrange verwenden. Selbst wenn ich diese Funktion minimiere.. was bringt mir das hier? Stehe hier irgendwie am Schlauch... hoffe jemand kann mir nen Tipp geben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

sabsi

21:06 Uhr, 08.05.2022

ok hab mir das jetzt soweit überlegt:

1) A symmetrisch -> alle EW reell
Bew.: das char Polynom hat konjugiert komplexe Wurzeln als Lösung:

λ_{1} = a + b i

λ_{2} = a - b i

Annahme:

λ

wäre komplex (also b ungleich 0)
Dann gilt:

A * x_{1} = λ_{1} * x_{1}

und

A * x_{2} = λ_{2} * x_{2}

x_{2} * A * x_{1} = λ_{1} * x_{2} * x_{1}

und

x_{1} * A * x_{2} = λ_{2} * x_{1} * x_{2}

AUs

A = A^{T}

folgt:

0 = (λ_{1} - λ_{2}) (x_{1} * x_{2})

woraus folgt dass

λ_{1}

und

λ_{2}

reell sind.

2) "=>" Angenommen A ist positiv definit.
Dann gilt für alle EW

λ_{i}

mit zugehörigen EV

x_{i}

0 < x_{i}^{T} A x_{i} = x_{i}^{T} λ_{i} x_{i} = λ_{i} x_{i}^{2}

folgt

λ_{i} > 0

3) "<=" angenommen alle EW sind positiv

Minimiere

f (x) = x^{T} A x

auf der Sphäre. Also Lagrange-Funktion

g (x) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + . . . + x_{d}^{2} - 1

Es gilt ja:

\nabla f (x) = λ \nabla g (x)

2 A x = 2 x

A x = λ x

folglich sind alle Eigenvektoren

x_{i}

Minima und es gilt:

x^{T} A x > x_{i}^{T} A x_{i} = λ_{i} * x_{i}^{2} = λ_{i} > 0

für alle x -> A pos definit

..................................
passt das?

Daniel02 aktiv_icon

11:46 Uhr, 10.05.2022

ja das sieht sehr gut aus :-)

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