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potenzial eines vektorfeldes berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

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23:29 Uhr, 15.06.2013

hallo

ich hab etwas probleme beim bestimmen des potentials eines vektorfeldes

v

. wir hatten es anhand eines beispiels im

ℝ^{2}

angeschaut. irgendwie kann krieg ichs aber

z . b

ℝ^{4}

nicht hin. also die aufgäbe wäre:

bestimme das potential

Φ

des vektorfeldes

v :

v = {(π x_{2} e^{π x_{1}}, e^{π x_{1}}, x_{4}^{2,2} x_{3} x_{4})}^{T}

also die definition eines potentiales ist ja:

\nabla Φ = v \Rightarrow Φ

potential von

v,

also:

\frac{\partial Φ}{\partial x_{1}} = v_{1} = π x_{2} e^{π x_{1}} \Rightarrow Φ = \int v_{1} {d x}_{1} = x_{2} e^{π x_{1}} + φ (x_{2}, x_{3}, x_{4})

\frac{\partial Φ}{\partial x_{2}} = v_{2} = e^{π x_{1}} \Rightarrow Φ = \int v_{2} {d x}_{2} = x_{2} e^{π x_{1}} + φ (x_{1}, x_{3}, x_{4})

\frac{\partial Φ}{\partial x_{3}} = v_{3} = x_{4}^{2} \Rightarrow Φ = \int v_{3} {d x}_{3} = x_{3} x_{4}^{2} + φ (x_{1}, x_{2}, x_{4})

\frac{\partial Φ}{\partial x_{4}} = v_{4} = 2 x_{3} x_{4} \Rightarrow Φ = \int v_{4} {d x}_{4} = x_{3} x_{4}^{2} + φ (x_{1}, x_{2}, x_{3})

sofern ich mich in der eile nicht "verintegriert" hab :-P)

das

φ

bereitet mir jetzt etwas probleme. wie bestimme ich das konkret?
danke für die hilfe! :-D)

lepton

00:22 Uhr, 16.06.2013

Dein Potential

Φ

steht doch schon da, du brauchst es nur abzulesen.
Dieses ist bis auf eine additive Konstante

k \in R

eindeutig bestimmt.

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09:51 Uhr, 16.06.2013

hallo, vielen dank für deine antwort

ja, das potential ist so natürlich bis auf die konstante

φ

bestimmt. aber diese muss man ja auch noch finden, und zwar so, dass wenn man

φ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})

jeweils in den obigen vier ausdrücken einsetzt, stets der selbe term rauskommt, DIESER ist dann das potential, oder hab ich da was falsch verstanden?

gruss

lepton

17:52 Uhr, 16.06.2013

Wir haben doch hier eine unbestimmte Integration, wodurch eine Schar von Potentialen entsteht, so dass das Potential

Φ

eindeutig bis auf eine additive Konstante

φ

bestimmt ist.

\Rightarrow Φ = Φ (x_{i}) + φ, φ \in R \land i \in {1, . . ., 4}

Soll aber jetzt das Potential innerhalb eines bestimmten Gebietes

G \subseteq R^{4}

(offen und einfach zusammenhängend) mittels eines Kurvenintegrals bestimmen werden, durch die Verbindung einer Anfangsbedingung

\vec{x_{0}} \in G

mit

\vec{x} \in G

, dann hätte man ein bestimmtes Potential.

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14:02 Uhr, 17.06.2013

ach so. das klingt einleuchtend. ich hab auch erst jetzt gesehen, das in den lösungen steht " EIN potenzial ist

φ (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = x_{2} e^{π x_{1}} + x_{3} x_{4}^{2}

das heisst, man sollte vermultich einfach ein potenzial aus der schar bestimmen. wie kommt man aber darauf, dass dieses ein mögliche lösung für ein potenzial ist?

gruss le chat

lepton

15:48 Uhr, 17.06.2013

Das folgt aus dem Hauptsatz für Kurvenintegrale, so dass zwei Potentiale eines Gradientenfeldes sich nur um eine additive Konstante unterscheiden. In der Regel lässt man meist die addt. Konst. weg und schreibt direkt das bestimmte Potential hin. Formal lässt sich das Potential

V

für ein Vektorfeld

\vec{v} : G \subset R^{n} \to R^{n}

, vorausgesetzt

\vec{v}

stetig diff-bar und

G

offen und einfach zusammenhängend auch wie folgt darstellen:

\sum_{i = 1}^{n} \int_{0}^{x_{i}} v_{i} d x_{i} = V (x_{i}) (1)

Dein Potential ist auch ohne der additiven Konstante korrekt, wenn man es in Gedanken mittels

(1)

integriert hat.

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21:56 Uhr, 17.06.2013

achso. das steht so genau in meinem buch nicht drin, deshalb war ich etwas verwirrt, aber so ist eigentlich alles klar. jetzt versteh ich das. vielen dank für deine erklärungen, das hat mir wirklich geholfen.

gruss le chat :-D)

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