Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » pq Formel komplexe Zahlen

pq Formel komplexe Zahlen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

Cedric97 aktiv_icon

15:00 Uhr, 25.01.2023

Laut Lösung sollen die beiden Ergebnisse

i

und

3 i

lauten. Ich komm aber nur auf

2 i

und

4 i

. Was mache ich falsch ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Punov aktiv_icon

15:09 Uhr, 25.01.2023

Hallo, Cedric97!

die komplexen Lösungen sind

1 \pm 3 i

und

\pm i

.

Die erste Gleichung, die du lösen musst, ist

x^{2} - 2 x + 10 = 0

und mit der pq-Formel bekommst du

x_{1, 2} = 1 \pm \sqrt{- 9} = 1 \pm 3 i

.

Beachte, dass

\sqrt{- 9} = \sqrt{- 1 \cdot 9} = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9} = \pm 3 i

.

Die zweite Gleichung, die zu lösen ist, ist

x^{4} = 1

und da kann man sich zum Beispiel grafisch klar machen, dass

x = i

und

x = - i

dies lösen.

Viele Grüße

Cedric97 aktiv_icon

15:14 Uhr, 25.01.2023

Okay auf

\pm 1

und 1+-sqr

3 i

komme ich drauf aber wie bekommen wir die Lösung

\pm i

? Das bekomme ich noch nicht ganz auf die Reihe

Punov aktiv_icon

15:28 Uhr, 25.01.2023

Hallo!

Beachte

1 = e^{i 2 k π}

for

k = 0, 1, 2, \dots

Daher

x = \sqrt[4]{1} = 1^{1 / 4} = e^{i \frac{k}{2} π} = \cos (\frac{k}{2} π) + i \sin (\frac{k}{2} π)

für

k = 0, 1, 2, 3

.

Für

k = 0

und

k = 2

ergeben sich

x = 1

bzw.

x = - 1

.

Für

k = 1

und

k = 3

bekommst du

x = i

bzw.

x = - i

.

Viele Grüße

Cedric97 aktiv_icon

15:30 Uhr, 25.01.2023

Ach da hoch 4 ja die 4te Einheitswurzel, dadurch 4 Ergebnisse aus der Gleichung. Danke :-)

calc007

16:03 Uhr, 25.01.2023

Hallo
wenn ich ergänzen darf:
Dein Knoten im Hirn in deinem ersten Aufschrieb lag vermutlich darin:

richtig war prinzipiell noch die Zeile:

x_{1; 2} = 1 \pm 3 \cdot i

dahinter kommen deine Zeilen
"

4 \cdot i

"
und
"

2 \cdot i

"
Oh je, oh je...
Du solltest dir dringend klar machen:

x_{1; 2} = 1 \pm 3 \cdot i = 1 \pm (3 \cdot i)

Punkt vor Strich

!!

Das ist NICHT das selbe wie

(1 \pm 3) \cdot i

und ganz nebenbei

(1 - 3)

ist NICHT 2

Also die Lösung

x_{1; 2} = 1 \pm 3 \cdot i

bedeutet ausgeschrieben

x_{1} = 1 + 3 \cdot i

x_{2} = 1 - 3 \cdot i

und das sind komplexe Zahlen
mit dem Realteil 1
und dem Imaginärteil

+ 3

bzw.

- 3

Roman-22

16:03 Uhr, 25.01.2023

Dein

x^{4} = \pm 1

im Bild ist falsch.
Richtig ist doch

x^{4} = 1,

woraus dann

x^{2} = \pm 1

folgt.
Und dann löse eben ähnlich die beiden resultierenden Fälle

x^{2} = + 1 \Rightarrow x = \pm 1

und

x^{2} = - 1 \Rightarrow x = \pm i

1566559

1566550

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?