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primitive n-te Einheitswurzeln
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Körper
Tags: Einheitswurzel, Gruppen, Körper, primitiv
 
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anonymous 12:27 Uhr, 01.02.2016  |
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"Zeigen Sie, dass eine primitive 12-te Einheitswurzel im Körper GF(13) ist. Für welche weiteren natürlichen Zahlen existieren primitive n-te Einheitswurzeln in GF(13)?" Für den ersten Teil habe ich einfach in das Polynom eingesetzt und geprüft ob es eine Nullstelle ist. Damit weiß ich doch, dass 2 eine n-te Einheitswurzel ist. Dann hab ich die Potenzen von 2 ausgerechnet (GF(13)) und festgestellt, dass 2 bei wieder 1 wird. Damit wäre die Ordnung von 2 doch und 2 somit auch eine primitive n-te Einheitswurzel? Ist das Vorgehen korrekt oder liege ich da komplett falsch? Zum zweiten Teil: Müssten die weiteren nach dem Satz von Lagrange nicht und 6 sein? Weil n-te Einheitswurzeln eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe von GF(13) bilden. Aber sind diese dann automatisch auch primitiv? Auch hier bin ich mir nicht sicher, ob ich den richtigen Ansatz habe. Kann mir jemand weiterhelfen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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"Ist das Vorgehen korrekt oder liege ich da komplett falsch?" Korrekt, aber redundant. Es reicht einfach die Potenzen von zu bilden und zu sehen, dass die kleinste Potenz ist, welche die Bedingung erfüllt. "Müssten die weiteren n nach dem Satz von Lagrange nicht 1,2,3,4 und 6 sein? Weil n-te Einheitswurzeln eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe von GF(13) bilden. Aber sind diese dann automatisch auch primitiv?" Nein, davon ist nur primitiv. Wie man Primitivwurzeln berechnet, steht hier: de.wikipedia.org/wiki/Primitivwurzel |
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anonymous 16:47 Uhr, 01.02.2016 |
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"Nein, davon ist nur 6 primitiv. Wie man Primitivwurzeln berechnet, steht hier: de.wikipedia.org/wiki/Primitivwurzel" Okay, ich verstehe gerade nicht wie zwei Passagen zusammenhängen. Unter deinem Link steht: "Man kann viele Versuche sparen, indem man die Tatsache benutzt, dass die Ordnung nach dem Satz von Euler teilt, da jede Zahl für die gilt, durch die Ordnung teilbar ist. Darum muss man nur noch für alle Teiler von überprüfen, ob Exponentiation mit ihnen die Zahl auf 1 abbildet, und der kleinste solche Teiler ist die Ordnung." Das wären bei mir, wie schon vorher festgestellt, und fällt weg, weil kein Teiler und nicht primitiv?). Jetzt kann ich natürlich noch die und 6 überprüfen. In der Tabelle weiter unten steht dann aber: Primitivwurzeln modulo Wie komm ich denn auf 7 und wenn diese gar nicht Teiler von sind? |
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Teiler beziehen sich auf Potenzen, nicht auf Zahlen selber. Das heißt, Du musst nicht alle Potenzen von prüfen, sondern nur die Potenzen, die teilen. Also musst Du z.B. nicht berechnen, weil kein Teiler von ist. |
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anonymous 17:44 Uhr, 01.02.2016 |
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Achsoo, also müsste ich bei dieser Aufgabe (Elemente und (Teiler von Rechnungen durchführen bzw. bis ich primitive Einheitswurzeln gefunden habe? Das erscheint mir etwas viel.. |
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Nein, wenn Du schon weißt, dass , musst Du , , und (mod ) nicht mehr prüfen. Das waren Rechnungen. Bleiben also . Da mod , folgt mod , das waren zwei Rechnungen. Bei musst Du dann noch Rechnungen machen. Danach aber weißt Du, dass und auch keine Primitivwurzeln sind. Usw. Insgesamt wird so um die 20 Rechnungen sein. |
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anonymous 14:34 Uhr, 03.02.2016 |
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Ahh okay ich verstehe jetzt, wie ich Dinge ausschließen kann und damit effizienter berechnen. Vielen Dank. |
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