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primzahlen

Schüler Gymnasium, 8. Klassenstufe

Tags: Zahlentheorie

alorein18 aktiv_icon

21:49 Uhr, 04.05.2015

Man Beweise, dass es unendlich viele Primzahlen Dr Form 4•n+3 gibt.
Ich habe keine Ahnung wie man das macht. Könnt ihr helfen.
Danke im VorrauS.

alorein18 aktiv_icon

21:49 Uhr, 04.05.2015

4×n+3

Formel falsch.

srry

alorein18 aktiv_icon

21:52 Uhr, 04.05.2015

Oh mann

geht nicht.

da muss 4 mal n plus 3 stehen.

Stephan4

22:10 Uhr, 04.05.2015

n = 3 a

4 \cdot 3 a + 3 = 3 \cdot (4 a + 1)

Oder:
Für alle

n = 3, 6, 9, 12, . .

Roman-22

23:31 Uhr, 04.05.2015

Hallo Stephan4,

der Zweck deiner Antwort erschließt sich mir nicht ganz.

Möchtest du nur darauf hinweisen, dass sich mit

4 \cdot n + 3

nie Primzahlen einstellen, wenn

n

ein Vielfaches von

3

ist (abgesehen von

n = 0

)?

Das ist zwar zweifellos richtig, aber ich sehe nicht, inwiefern das helfen könnte, zu zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen der Bauart

4 \cdot n + 3

gibt.

Gruß R

Stephan4

00:09 Uhr, 05.05.2015

Deine Frage, Roman, muss ich mit einem glatten Ja beantworten.

Mein Beitrag ist etwas vorschnell entstanden, bin aber selbst schon auf gute Antworten gespannt.

ledum aktiv_icon

00:40 Uhr, 05.05.2015

Hallo
alle Primzahlen außer 2 haben die form

4 k + 1

oder

4 k + 3

angenommen es gibt nur endlich viele der form

4 k + 3

nenne sie

p_{1}

bis

p_{n}

bilde

a = 4 \cdot p_{1} \cdot p_{2} . \cdot ... ... . \cdot p; - 1

ist nicht durch eine der

p_{i}

teilbar (und ungerade) entweder ist a selbst eine Primzahl, dann der Form

4 k + 3

Widerspruch oder es hat Teiler

q_{1}

bis

q_{i},

angenommen alle

q_{i}

hätten die form

4 n + 1

dann gilt q_i=1mod 4 und

a = q_{1} ... \cdot q_{i} = 1 mod 4

Wiederspruch da a <=-1mod 4
also hat a falls nicht selbt prim mindestens einen Teiler der Form

4 k + 3 > p_{n}

Gruß ledum

Stephan4

22:05 Uhr, 05.05.2015

Mal probieren mit

k = 4 : 4 \cdot 4 + 3 = 19

a = 4 \cdot (3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19) - 1 = 17555 =

= 5 \cdot 3511 \equiv 1 \cdot 3

\Rightarrow

Es wurde eine höhere Primzahl gefunden:

3511

(4 \cdot 877 + 3)

Mal probieren mit

k = 5 : 4 \cdot 5 + 3 = 23

a = 4 \cdot (3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \cdot 23) - 1 = 403787 =

= 1 \cdot 403787 \equiv 1 \cdot 3

\Rightarrow

Es wurde eine höhere Primzahl gefunden:

403787

(4 \cdot 100946 + 3)

Mal probieren mit

k = 7 : 4 \cdot 7 + 3 = 31

a = 4 \cdot (3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 31) - 1 = 12517427 =

= 13 \cdot 331 \cdot 2909 \equiv 1 \cdot 3 \cdot 1

\Rightarrow

Es wurde eine höhere Primzahl gefunden:

331

(4 \cdot 82 + 3)

Mal probieren mit

k = 10 : 4 \cdot 10 + 3 = 43

a = 4 \cdot (3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 31 \cdot 43) - 1 = 538249403 =

= 709 \cdot 759167 \equiv 1 \cdot 3

\Rightarrow

Es wurde eine höhere Primzahl gefunden:

759167

(4 \cdot 189791 + 3)

Oder ganz allgemein

k : 4 \cdot k + 3

a = 4 \cdot (3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 19 \cdot ...) - 1 \equiv 3

was bedeutet, dass mindestens einer der Primfaktoren von a bei der Division durch 4 den Rest 3 haben muss.
Und dieser Primfaktor ist dann eine höhere Primzahl in der Form

4 n + 3

.

Wäre das verständlich?

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