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proportionale Teilung

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Tags: proportion, Sonstig

amirteymuri aktiv_icon

13:05 Uhr, 08.01.2016

Guten Tag,

angenommen habe ich eine Einheit bestehend aus

100

(z . B

. Einheit=Meter, Teile=Centimeter). Ich möchte diese Einheit in 5 kleinere Einheiten teilen die proportional zueinander stehen. Wie könnte ich da vorgehen und wie lässt sich ein algemeines Formel ausdrucken?

Vielen Danke im voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Gwunderi aktiv_icon

11:03 Uhr, 09.01.2016

Hallo Ardour-Fan,

Das sieht ja nach einer geometrischen Reihe aus, für deren Summe gilt:

s_{n} = a_{1} \cdot \frac{x^{n} - 1}{x - 1}

a_{1}

= erstes, kleinstes Stück
x = Proportionalitätsfaktor

Habe es ähnlich berechnet, und soweit ich sehe, kommt man da nicht um das Lösen einer Gleichung 4. Grades herum:

a + a x + a x^{2} + a x^{3} + a x^{4} = 100

a (1 + x + x^{2} + x^{3} + x^{4}) = 100

x^{4} + x^{3} + x^{2} + x = \frac{100}{a} - 1 = \frac{100 - a}{a}

Das erste Sück sei 10 Einheiten, also a = 10:

x^{4} + x^{3} + x^{2} + x = 9

x \approx 1, 35

(Habe es geplottet und dann abgeschätzt.)

Mit einem Online-Rechner: x = 1,3524
http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

Kommt draufan, wofür man die Lösung braucht, d.h. auf wieviele Kommastellen genau die Lösung sein soll. Mit 2 Stellen geht es noch recht locker mit dem Taschenrechner die 5 Summanden aufsummieren, oder man kann eine Excel-Tabelle erstellen.

Die Aufgabe hatte mich auch an eine logarithmische Spirale erinnert (komplexe Zahlen), bin aber damit nicht weiter gekommen - denke nicht, dass man damit eine simplere Formel finden kann? Oder sonstwie?

amirteymuri aktiv_icon

16:42 Uhr, 12.12.2016

Vielen Dank für Deine Antwort.

amirteymuri aktiv_icon

23:50 Uhr, 13.12.2016

Es wäre dann eine Polynome 4. Grades, richtig? Wäre eine Gleichung in Form

x^{11} + x^{10} + ... + x^{2} + x

eine Polynom

11

. Gerades? Und wie wäre diese Gleichung zu lösen?

michaL aktiv_icon

07:33 Uhr, 14.12.2016

Hallo,

ok, nur damit ich es richtig verstehe...

Du hast z.B. 100 cm proportional zu teilen, d.h. die kleinste "Menge" sei

a

cm. Die nächst kleinere "Menge" sollen dann

2 a

cm sein? und die nächste

3 a

cm?
Oder ist es anders gedacht?

Wenn es so gedacht ist, ist das auch schon der Ansatz.
Insgesamt hättest du dann zur Bestimmung von

a

a + 2 a + 3 a + 4 a + 5 a = 100

Mfg Michael

Roman-22

12:31 Uhr, 14.12.2016

@Gwunderi

>

soweit ich sehe, kommt man da nicht um das Lösen einer Gleichung 4. Grades herum
Aber warum denn? Wer sagt dir, dass, um bei deiner Notation zu bleiben, a und

S

vorgegeben sind und

x

gesucht ist? Man könnte auch

S

und den Proportionalitätsfaktor

x

vorgeben und dann wäre a ganz leicht und elementar zu finden.
Außerdem ist überhaupt noch nicht klar, was amirteymuri denn genau mit "in 5 kleinere Einheiten teilen die proportional zueinander stehen" meint. Du hast unterstellt, dass er meint, dass je zwei aufeinander folgende Teilstrecken im gleichen Verhältnis (die Begriffe "Verhältnis" und "Proportion" werden ja gern verwechselt) zueinander stehen sollen, die Teilstrecken daher eine geometrische Folge bilden. MichaL hat (für mich nicht nachvollziehbar) offenbar an eine arithmetische Folge gedacht. Aber bei beiden Ansätzen gibt es unendlich viele mögliche Lösungen, da in beiden Fällen zwei Größen (bei dir a und

x)

zu bestimmen sind, aber nur eine Gleichung vorliegt. Vielleicht hat amirteymuri auch so etwas ähnliches im Sinn wie die Unterteilung einer Oktave in

12

Halbtonschritte, wobei da eben aufeinander folgende Frequenzen (zB von

440

Hz bis

880

Hz) ein konstantes Verhältnis haben müssen. Wir wissen das alles nicht, solange amirteymuri sich nicht konkreter äüßert. Aber seine Threads zu betreuen und zu beenden scheint nicht seine Sache zu sein, daher ist es wohl doppelt müßig, sich weitere Gedanken zu machen.

@amirteymuri

>

Wäre eine Gleichung in Form

x 11 + x 10 + ... + x 2 + x

eine Polynom

11

. Gerades? Und wie wäre diese Gleichung zu lösen?
Da hatten wir doch schon einmal einen Thread, an dem dann unhöflicherweise keinerlei Interesse mehr gezeigt wurde

\to

www.onlinemathe.de/forum/Exponentielle-Gleichung-3

Gwunderi aktiv_icon

23:24 Uhr, 16.12.2016

Hallo Roman-22

"... die Begriffe "Verhältnis" und "Proportion" werden ja gern verwechselt ..."

Sehe da in der Tat keinen Unterschied (?) Zwei oder mehrere Längen stehen im Verhältnis 1,4 zueinander, also ist der Proportionalitätsfaktor 1,4 - habe ich immer gedacht? Was ist denn der Unterschied?

Sei doch nicht so streng mit Amirteymuri, kann ja leicht mal passieren dass es untergeht, wenn man vieles um die Ohren hat ... und ich bin vor allem zum Üben da, also hat es mir so oder so etwas gebracht :-)

Roman-22

00:53 Uhr, 17.12.2016

>

Was ist denn der Unterschied?
Eine Proportion ist eine Verhältnisgleichung. Also ein Gleichheitszeichen und links und rechts davon ein Verhältnis. Etwa

a : b = 2 : 3

.
Umgangssprachlich wird unter dem Begriff Proportion idR aber meist etwas anderes verstanden.
Ein Verhältnis ist aber lediglich der Quotient aus zwei Größen und auch dieser Begriff ist umgangssprachlich oft anders konnotiert.

>

Sei doch nicht so streng mit Amirteymuri, kann ja leicht mal passieren dass es untergeht, wenn man vieles um die Ohren hat

. .

.
Wenn man gar so viel um die Ohren hat, dass man sich nicht mal mehr um die Antworten auf selbst gestellte Fragen kümmern kann, so sollte man erst gar nicht zu fragen beginnen. Es ist nicht einzusehen, warum wir hier mehr Interesse an den Fragen zeigen sollten als die Fragesteller selbst.
Wie du ja vielleicht bemerkst, "passiert" es ihm gerade eben wieder auch mit diesem Thread. Er hatte ihn zwar schon abgehakt, aber dann später mit einer Frage

(i . W

. derselben wie damals) wieder aktiviert und nun herrscht seit drei Tagen wieder Funkstille. Sowas "passiert" idR nicht einfach so, sondern ist Ausdruck von immanentem Egoismus und Unhöflichkeit.

Gwunderi aktiv_icon

09:44 Uhr, 17.12.2016

@Roman-22

Aber bei einer Proportion muss man doch auch immer angeben, proportional zu was, also ist es doch auch immer eine Gleichung. z.B. ist ein Rechteck immer doppelt so lang wie breit, also ist der Proportionalitätsfaktor l/b = 2:1 / ihre Länge steht im Verhältnis 2:1 - ist doch genau dasselbe?

Der Begriff "Verhältnis" ist umgangssprachlich oft anders konnotiert: ja, statt "im Verhältnis x/y" hört man auch oft "x hat ein Verhältnis mit y" :-))))

zu Amirteymuri: ja, wenn es öfter mal "passiert" wird's weniger lustig; tönt mir auf einmal so, er verhält sich ziemlich unhöflich und Du wirst "attackiert" - wollte eigentlich nur sagen, dass es mir nichts ausmacht, weil ich eh in erster Linie für mich übe hier … nehm's also vollumfänglich zurück :-)

Roman-22

10:57 Uhr, 17.12.2016

>

Aber bei einer Proportion muss man doch auch immer angeben, proportional zu was, also ist es doch auch immer eine Gleichung.
Wieso "auch"? Wie ich oben schon schrieb - eine Proportion ist immer eine Gleichung, eben eine Verhältnisgleichung.
Wenn wir von einem Rechteck als Beispiel ausgehen, so ist dort Länge:Breite ein Verhältnis und auch

3 : 4

ist ein Verhältnis.
Wenn du aber formulierst, dass sich Länge zu Breite eines Rechtecks wie

3 : 4

verhalten, dann hast du in Worten eine Proportion, eine Gleichung, beschrieben.

Eine Höhe ist eine Größe und

4 m

sind auch eine Größe. Wenn du nun sagst, dass die Höhe

4 m

beträgt, so formulierst du die Gleichung Höhe

= 4 m

.
Die Gleichung ist keine Größe und analog dazu ist auch eine Proportion kein Verhältnis.

Man kann auch von proportionalen Größen sprechen, doch macht das nur Sinn, wenn es sich dabei um veränderliche Größen handelt. Wird zB die eine verdoppelt, so auch die andere. Kreisdurchmesser und -umfang sind ein Beispiel zweier proportionaler Größen, denn sie stehen immer (unabhängig von der Größe des Kreises) im Verhältnis

π : 1

. Bezeichnen

d_{1}, d_{2}, d_{3}

die Durchmesser dreier verschiedener Kreise und

u_{1}, u_{2}, u_{3}

deren Umfänge, so kann man das auch mit Proportionen beschreiben:

d_{1} : r_{1} = d_{2} : r_{2} = d_{3} : r : 3 = π : 1

.

Was aber in der Frage fünf "Einheiten" sein sollen, in die eine (feste, konstante) größere "Einheit" geteilt wird und die "proportional zueinander stehen" (????), ist immer noch völlig unklar und bietet viel Raum für unnötige Spekulationen. Fünf konstante Größen stehen immer in einem (fortlaufenden) Verhältnis zu einander

a : b : c : d : e = . .

. Das bedeutet aber noch lange nicht, dass

a : b = b : c = c : d = d : e

gelten soll, auch wenn die Vermutung nahe liegt, dass der Fragesteller das gemeint haben könnte und es ihm nicht bewusst war, dass diese Aufgabe dann unendlich viele Lösungen hat, von denen eine auch die simple lineare Teilung

a = b = c = d = e

ist.

Ich hab deine amirteymuri Verteidigung nicht als "Attacke" gegen mich gesehen. Es steht dir natürlich frei, ein Verhalten, das ich inakzeptabel finde, als für dich akzeptabel und entschuldbar zu klassifizieren und diese Meinung auch zu äußern.

amirteymuri aktiv_icon

12:54 Uhr, 17.12.2016

@Lieber Roman Es tut mir Leid wenn meine unregelmäßige Anwesenheit im Forum unhöflich und unintressiert rübergekommen ist, ich folge die Threads aber eigentlich (auch wenn nicht regelmäßig, da ich zwischendurch andere Arbeiten erledigen muss und mich um ein kleines Kind kümmern muss) nach wie vor intressiert und bin Euch sehr sehr dankbar über die Antworts die Ihr zu meiner Frage schreibt.

Um meine Frage mehr zu konkretisieren: es geht in dem Fall um eine gewisse Zeitdauer die ich in kleineren zeitlichen Abstände unterteilen möchte (im obigen Beispiel hatte ich das als Meter und cm gefragt). Also wenn ich die Dauer von einer Minute in

12

Abschnitte teilen will, so dass die Dauer von diesen Abschnitten exponentiell zu- bzw. ab-nimmt müsste ich haben:

ax^0

+

ax^1

+ . .

+

ax^11

= 60

Sekunden

wobei ich weder über den Verhältnisfaktor

x

noch den Konstanten a weiße.

PS: ich bin ein Musikstudent der Freude und Interesse an Mathe hat. Bitte ich deshalb um Verständnis und Kotektur wenn ich etwas mathematisch falsch formuliere.

Roman-22

14:38 Uhr, 17.12.2016

Hallo amirteymuri!

Schön, dass Du dich wieder zu uns gesellst. In der Tat kommt es sehr unhöflich rüber, wenn man eine Frage stellt und sich dann mehrere Tage nicht mehr drum kümmert oder, so wie im anderen, zitierten Thread, überhaupt nicht mehr drum schert.

>

wobei ich weder über den Verhältnisfaktor

x

noch den Konstanten a weiße.
Wenn du die obigen Antworten gelesen hast, dann weißt du mittlerweile auch, dass es dann unendliche viele mögliche Lösungen gibt. Du darfst dir also noch was wünschen.

Wünscht du dir zB

x = 1,

dann ist

a = 5 sec

und du erhältst eine lineare Teilung. Diese entspricht in trivialem Sinn deiner Forderung nach einer exponentiellen Zu- oder Abnahme, wenn man

1^{x}

als Exponentialfunktion zulässt (oft wird die Basis 1 bei der Definition ausgeschlossen).
Wählst du einen anderen Proportionalitätsfaktor, zB

x = 2,

dann kannst du aus der Gleichung

a \cdot \sum_{k = 0}^{11} 2^{k} = 60 s,

oder, mit der Summenformel für endliche geometrische Reihen vereinfacht:

4095 a = 60 s,

leicht den ersten Zeitabschnitt

a = \frac{4}{273} s \approx 14,65 m s

berechnen.
Analog, wenn die Zeitabschnitte abnehmen sollen, wählst du ein

x < 1,

x = \frac{2}{3} \Rightarrow a = \frac{2125764}{105469} s \approx 20,155 s

.
Wenn du zB möchtest, dass der letzte Zeitabschnitt doppelt so groß wie der erste sein soll, dann wählst du

x = \sqrt[11]{2}

und kommst auf

a \approx 3,453 s

.

Wünscht du dir aber einen ganz bestimmten Anfangszeitraum wie zB

a = 10 s,

dann bleiben dir die Möglichkeiten aus meiner Antwort in deinem anderen Thread, um hier

x \approx 0.8609927

zu errechnen. Wählst du

a > 5 s,

wird

x < 1

sein, für

a < 5 s

stellt sich eine zunehmende Folge mit

x > 1

ein, etwa

a = 1 s \to x \approx 1,2660857991

. Für

a = 5 s

erhältst du

x = 1

und damit die lineare Teilung in

12

5-Sekunden Abschnitte.

R

Gwunderi aktiv_icon

14:50 Uhr, 17.12.2016

Wenn weder der Proportionalitätsfaktor x noch der Anfangswert a bekannt ist, haben wir eine Gleichung mit 2 Unbekannten, und die ist nicht eindeutig lösbar. Entweder a oder x muss man also "willkürlich" setzen.

Die Formel ax^0 + ax^1 + … ax^11 = 60 ist richtig.
Da x^0 = 1 und x^1 = x:
a + ax + ax^2 + … + ax^11 = 60
a ausklammern:
a(1 + x + x^1 + … x^11) = 60
beidseitig durch a dividieren:
1 + x + x^1 + … x^11 = 60/a

Haben wir also ein Polynom 11. Grades, nicht gerade einfach. Aber dafür gibt's die Formel für die Summe geometrischer Reihen:

s_{n} = a_{1} (\frac{x^{n} - 1}{x - 1})

Setzen wir mal

a_{1} = 2

(der kürzeste Intervall sei also 2 Sekunden):

60 = 2 (\frac{x^{12} - 1}{x - 1})

30 = \frac{x^{12} - 1}{x - 1}

30 x - 30 = x^{12} - 1

x^{12} - 30 x + 29 = 0

Das kann man mit dem Onlinerechner ausrechnen lassen: x = 1,1555

Oder man kann den Proportionalitätsfaktor setzen, sagen wir x = 1,3:

60 = a_{1} (\frac{1, 3^{12} - 1}{1, 3 - 1})

erhält man

a_{1} = 0, 807

Je kleiner man den Anfangswert

a_{1}

wählt, desto grösser ist der Proportionalitätsfaktor:
bei a = 1 ist x = 1,2661
bei a = 2 ist x = 1,1555
bei a = 3 ist x = 1,0888

Dass die Formel gilt, kannst Du übrigens schnell sehen, wenn Du ein einfaches Beispiel nimmst:
der Anfangswert

a_{1} = 2

und der Proportionalitätsfaktor x = 1,5 (hat jetzt nichts mit obiger Rechnung mit den 60 Sekunden zu tun):

Dann sind die ersten 4 Glieder:
2 / 3 / 4,5 / 6,75 und deren Summe 16,25

In die Formel eingesetzt:

s_{4} = 2 (\frac{1, 5^{4} - 1}{1, 5 - 1}) = 2 \cdot \frac{4, 0625}{0, 5} = 16, 25

Es gibt also schon etwas zu rechnen; wenn man x vorgibt etwas weniger, aber auch wenn man a vorgibt, kann man x mit dem Onlinerechner ausrechnen lassen.
Oder wenn Du Dich mit Excel gut auskennst, kann man damit x und alle "Zwischengrössen" auch relativ einfach ausrechnen lassen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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