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punktweise, gleichmäßige Konvergenz
Schüler Ausbildungsstätte,
Tags: gleichmäßig, Konvergenz, punktweise
 
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Hi, ich soll zeigen, dass folgende Funktionenfolge gleichmäßig gegen die Betragsfunktion konvergiert: Dazu muss ich ja erst einmal zeigen, dass diese Funktionenfolge punktweise konvergiert. Sei also beliebig, dann ist =\sqrt{x^2}=|x| Ich darf den Limes in die Wurzel ziehen, weil die Wurzelfunktion gleichmäßig konvergent ist, oder? Dann hätte ich die punktweise Konvergenz gezeigt. Nun muss ich zeigen, dass es gleichmäßig konvergent ist. Aber ich habe obiges ja eigentlich unabhängig von x gezeigt, weil x beliebig war, also ist es doch automatisch gleichmäßig Konvergent? Ich gehe mal davon aus, dass es falsch ist. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Du darfst den Limes in die Wurzel ziehen, weil die Wurzelfunktion stetig ist. Deine Argumentation zur gleichmäßigen Konvergenz greift nicht. Du solltest versuchen nach oben abzuschätzen. Am besten durch einen Ausdruck der nur noch von abhängt und gegen null konvergiert, denn daraus folgt sofort die gleichmäßige Konvergenz. Es ist hilfreich zu schreiben und dann gemäß dritter binomischer Formel zu erweitern. |
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Ja, mit der dritten binomischen Formel hatte ich schon erweitert. Dann hatte ich: Aber ans Abschätzen nicht gedacht... Eigentlich der logische nächste Schritt. Dann habe ich Für n gegen unendlich geht das gegen Null, und damit ist |x| wirklich die Grenzfunktion. Eines verstehe ich irgendwie nicht. Ich habe hier stehen, dass ||...|| ist die Supremumsnorm. Ich glaube ich verstehe diese Schreibweise nicht ganz. Also das Supremum ist ja die kleinste obere Schranke. Und diese muss für n gegen unendlich Null werden. Habe ich das so richtig interpretiert? |
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Du hast falsch abgeschätzt, denk nochmal darüber nach. In diesem Fall hast du |
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Hmm, der zweite Faktor wird aber doch maximal 1 groß. Meinst du mit falsch, dass die Abschätzung einfach falsch ist, oder falsch im Sinne von nicht zielführend? |
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Nimm und dann ist der zweite Faktor größer als 1 nämlich also da liegst du falsch! Du kannst aber nach oben abschätzen, indem du einsetzt (da wird der Nenner ja minimal, also der Bruch maximal). |
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Ah, okay. Das leuchtet ein. So komme ich dann auf die von dir angegebenen Und damit bin ich schon fertig? |
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Ja bist du, aber solche Fragen sind schlecht, denn eigentlich solltest du dir klar machen warum du fertig bist. Und speziell bei dieser Aufgabe sollte man noch sehen, dass jede Funktion der Folge differenzierbar ist, aber die Grenzfunktion nicht. Also Differenzierbarkeit vererbt sich nicht unbedingt bei gleichmäßiger Konvergenz. Stetigkeit hingegen wird dadurch vererbt, was ihr bestimmt gezeigt habt. |
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Ja, haben wir gezeigt. Ich frage immer gerne nach, damit ich sicher sein kann. Und ich denke auch nicht, dass es in eurem Interesse ist wenn ich den Thread dann irrtümlich als beendet erkläre aber die Lösung eigentlich noch gar nicht vorhanden ist. Vielen Dank für die Hilfe. Mal ne allgemeine Frage zu einer Analysis I Klausur, die ich demnächst schreiben darf. Wie genau muss man mit den Sätzen und Beweisen der Vorlesung zurecht kommen können. Ich finde, dass es gar nicht so viele Sätze gibt die wirklich wichtig sind für die Klausur und es in einer Analysis I Klausur mehr um Anwendung geht. L'Hospital, Stammfunktionen, Grenzwerte, etc. und nicht so sehr ums beweisen. Jedenfalls von allen Klausuren die ich bisher gesehen habe, hatte es so den Anschein. Zur Vorbereitung wollte ich also eigentlich nur "rechnen" und nicht unbedingt das Skript auswendig lernen oder mich mit den Beweisen der Sätze (welche ich größtenteils für unwichtig halte, jedenfalls für die Klausur) belasten. Das Verständnis der Beweise wollte ich erstmal auf die Semesterferien vertagen. Dann verstehe ich vielleicht auch endlich wie wir die reellen Zahlen eingeführt haben. :-D) Würdest du sagen, dass es besser ist Aufgaben zu rechnen, oder es die gesunde Mischung macht, aus Skript pauken und Aufgaben rechnen? |
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Du siehst das schon richtig, die Klausur kann man auch bestehen ohne die Beweise der Sätze zu kennen. Natürlich wird in der Klausur hauptsächlich geprüft ob man die wichtigen Sätze kennt und mit ihnen umgehen kann. Also Altklausuren rechnen ist auf jeden Fall eine bessere Vorbereitung als die Beweise im Skript durchzugehen. Ganz allgemein finde ich es aber dennoch wichtig sich die Beweise anzuschauen. Einerseits will man natürlich wissen warum die Sätze gelten und durch das Nachvollziehen solcher Beweise erlernt man auch neue Beweisstrategien, die dann auch mal bei Übungsaufgaben weiterhelfen können. |
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Okay. Ja, ich hatte vor jetzt für die Klausur erstmal zu lernen indem ich mir einfach Reihen, Folgen und Stammfunktionen vornehme und dazu Aufgaben rechne. Die wichtigsten Sätze sollte ich kennen und die Beweise sind ja meistens immer nur zwei Schritte und nicht so schwer. Die Beweise und Sätze wollte ich dann in den Semesterferien durcharbeiten damit ich die die Analysis I zum beginn des zweiten Semesters gut beherrsche. |
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