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punktweise/gleichmäßige Konvergenz von e^-(x-n)^2

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen, gleichmäßige Konvergenz, Konvergenz, Punktweise Konvergenz

Benni444444 aktiv_icon

18:05 Uhr, 28.02.2024

Ich soll beweisen, ob die Funktionsfolge fn=e^-(x-n)^2 gleichmäßig und/oder punktweise konvergiert. Bei der punktweisen Konvergenz habe ich zuerst die Grenzfunktion

f

berechnet, welche

f (x) = 1

für

x = n

und

f (x) = 0

für

x

ungleich

n

ist. Somit konvergiert die Folge zumindest punktweise. Leider weiß ich nicht, wie ich beweisen soll ob die Funktionsfolge auch gleichmäßig konvergiert oder eben nur punktweise.

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:35 Uhr, 28.02.2024

Hallo,

die Grenzfunktion ist falsch.
Es handelt sich ja um (skalierte) Glockenkurven, deren Maximum mit steigendem

n

beliebig weit nach rechts wandert.
Die Grenzfunktion ist demnach die Nullfunktion.

Wenn ihr als Charakterisierung gleichmäßiger Konvergenz schon hattet, dass

lim_{n \to \infty} sup_{x \in D} ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ = 0

zur gleichmäßigen Konvergenz äquivslent ist, so findest du, dass dieses Supremum konstant und ungleich Null ist. Ergo: keine gleichmäßige Konvergenz.

Mfg Michael

Randolph Esser aktiv_icon

19:23 Uhr, 28.02.2024

Es gilt

f_{n} \to 0 (n \to \infty)

punktweise, denn für alle

x \in R

und

n > x

gilt

| e^{- {(x - n)}^{2}} | = \frac{1}{e^{{(x - n)}^{2}}} = \frac{1}{\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{({(x - n)}^{2})}^{k}}{k!}} \leq \frac{1}{{(x - n)}^{2}} \to 0 (n \to \infty)

.

Die Konvergenz ist nicht gleichmäßig,

denn für

ε := \frac{1}{2}, S \in N

beliebig und

x = n \geq S

gilt

| e^{- {(x - n)}^{2}} | = e^{0} = 1 > \frac{1}{2}

(Negation der gleichmäßigen Konvergenz:

\neg (\forall ε > 0 \exists S \in N \forall x \in R, n \in N : n \geq S \Rightarrow f_{n} (x) < ε)

\Leftrightarrow

(\exists ε > 0 \forall S \in N \exists x \in R, n \in N : n \geq S, f_{n} (x) \geq ε))

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