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quadrat der harmonischen reihe
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 16:31 Uhr, 28.11.2003  |
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Folgende Aufgabenstellung bereitet mir etwas Kopfschmerzen:-/: Zeige mittels vollständiger induktion, dass für alle n gilt: (ich mach das ma ohne formeleditor, da der bei mir nicht richtig funzt) (1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)^2 < 2*n die bekannten abschätzungen der harmonischen reihen über blöcke die jeweils kleiner 1 oder kleiner 1/2 sind reicht nicht aus um einen induktionsschritt zu machen. das problem an dem ich immer wieder scheitere ist die quadrierung der reihe. auf den beweis per induktion wird aber wert gelegt. hat jemand eine gute idee? (ich trau es mir ja kaum zu sagen: es eilt ;-)) |
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anonymous 17:48 Uhr, 29.11.2003 |
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keiner mit ner netten idee??? ich kann ja mal meine ansätze posten ... aufteilung der reihe in blöcke (1/1) + (1/2 + 1/3) + (1/4 + 1/5 + 1/6) + (1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10) + .... ist kleiner als (1/1) + (1/2 + 1/2) + (1/4 + 1/4 + 1/4) + ..... ist kleiner als 1 + 1 + 1 + 1 + 1 .... ... aber die anzahl der blöcke lässt keine vernünftige lösung zu andere idee: blöcke der mit der anzahl der elemente 1,2,4,8,16 usw ..... dann erhalte ich einen logarithmus als anzahl, damit kann keine vollständige indultion gemacht werden ... ich hab abs. keine idee ??? |
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| man soll doch quadrieren! | |
anonymous 18:53 Uhr, 29.11.2003 |
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ja eben ... ich versuche ja erst ne vernünftige abschätzung rauszukriegen um diese dann zu quadrieren ... |
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anonymous 23:13 Uhr, 30.11.2003 |
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ich habe vorhin von jemandem ne mail bekommen mit folgenden ansatz (ich hoffe es ist ok wenn ich das hier poste) ----------------------------------------------------- versuche mal folgendes: Sei r(n)=sum_{k=1}^n 1/k Induktionsschluß: r(n+1)^2=[r(n)+1/(n+1)]^2=r(n)^2+2/(n+1)*r(n)+1/(n+1)^2 <= 2*n+ 2/(n+1)*r(n)+1/(n+1)^2 (nach Induktion) <= 2*n+ 2/(n+1)*(n+1) (siehe (2)) = 2*(n+1) Nun ist zu zeigen, dass r(n)<= n+1-1/(n+1) (2) Induktionsschluß: r(n+1)=r(n)+1/(n+1) <=n+1 (nach Induktion) <=n+2-1/(n+1) (für alle n >= 1, da 1 > 1/(n+1)). Damit wäre alles bewiesen. Nun muss alles noch in die richtige Reihenfolge gebracht werden udn die Induktionsanfänge formuliert werden. -------------------------------------------------------------- mein problem nun: im ersten Teil macht man die folgende Abschätzung: 2*n+ 2/(n+1)*r(n)+1/(n+1)^2 <= 2*n+ 2/(n+1)*(n+1) also 2/(n+1)*r(n) + 1/(n+1)^2 <= 2/(n+1)*(n+1) Dann zeigt er aber im 2ten teil: > r(n)<= n+1-1/(n+1) (2) Diesen Zusammenhang vertehe ich noch nicht? Hat jemand ne idee wie man darauf kommt? ich poste das hier mal, weil ich morgen früh abgeben muss und es eilt ... |
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Also hier noch einmal ganz knackig: r(n+1)^2=[r(n)+1/(n+1)]^2=r(n)^2+2/(n+1)*r(n)+1/(n+1)^2 <= 2*n+ 2/(n+1)*r(n)+1/(n+1)^2 (nach Induktion) (soweit alles klar) Da jetzt für r(n) gilt (bisher habe ich r(n)^2 abgeschätzt) r(n)<=n+1-1/(n+1) folgt nun 2*n+ 2/(n+1)*r(n)+1/(n+1)^2 <= 2*n+2/(n+1)*(n+1-1/(n+1))+1/(n+1)^2 =2*n+2*(n+1-1/(n+1))/(n+1)+1/(n+1)^2 =2*n+2-1/(n+1)^2+1/(n+1)^2 = 2*n+2=2*(n+1) |
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anonymous 16:38 Uhr, 01.12.2003 |
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| vielen dank nochmal :-)) |
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