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quadratisches Taylorpolynom

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Funktionen

Tags: Funktion

andyi aktiv_icon

12:03 Uhr, 26.01.2015

Aufgabe war:
Gegeben sei die Funktion

g (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} f ü r x \in R

Berechnen Sie das quadratische Taylorpolynom

T_{2}

für die Funktion g um den Entwicklungspunkt

x_{0} = 0 .

Ich würde sagen, das ist

T_{2} (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} - \frac{2 x^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}} + \frac{x^{2} (- 2 (x^{2} + 1)^{2} + 8 x^{2} (x^{2} + 1)}{2 (x^{2} + 1)^{4}}

Liege ich da richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

12:04 Uhr, 26.01.2015

Du liegst falsch, denn ein Taylorpolynom ist immer noch ein POLYNOM!
Was Du geschrieben hast, ist keinesfalls ein Polynom.

andyi aktiv_icon

13:32 Uhr, 26.01.2015

Okay ... ich hab alles auf einen Nenner gebracht und zusammengefasst.
Heraus kam folgendes:

\frac{2 x^{4} - x^{2} + 1}{x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1}

Kann jemand bestätigen, dass das richtige Polynom ist?

gruß
andi

DrBoogie aktiv_icon

13:38 Uhr, 26.01.2015

Natürlich nicht!
Noch mal: ein Polynom kann keinen Nenner haben!
Und Taylorpolynom bekommt man nicht durch Umformungen, sondern durch Anwendung der Formel für Taylorpolynome, dafür braucht man zuerst mal Ableitungen im Punkt

x_{0}

zu berechnen (in Deinem Fall ist

x_{0} = 0

andyi aktiv_icon

19:25 Uhr, 26.01.2015

Sorry DrBoogie,

also das Taylorpolynom vom Grad n um den Entwicklungspunkt a war ja definiert als

\sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k}

Die Ableitungen sind

(\frac{1}{x^{2} + 1}) ʹ = \frac{- 2 x}{(x^{2} + 1)}

(\frac{- 2 x}{(x^{2} + 1)}) ʹ = \frac{- 2 (x^{2} + 1)^{2} - (2 x)^{2} (x^{2} + 1) 2}{(x^{2} + 1)^{4}}

und dann als Taylorpolynom wie im Post ganz oben:

T_{2} (x) = \frac{1}{a^{2} + 1} - \frac{2 a^{2} * x}{(a^{2} + 1)^{2}} + \frac{a^{2} (- 2 (a^{2} + 1)^{2} + 8 a^{2} (a^{2} + 1)}{2 (a^{2} + 1)^{4}} \frac{x^{2}}{2}

Wenn ich für a 0 einsetze bekomme ich

T_{2} (x) = 1

DrBoogie aktiv_icon

20:16 Uhr, 26.01.2015

Du hast es wieder geschafft, alles falsch zu schreiben. :-)

Du hast

x_{0} = 0

, also in Deiner Schreibweise

a = 0

, denn wenn Du

\sum \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^{k}

schreibst, dann ist

a

der Entwicklungspunkt, also

x_{0}

, also

0

.
Damit kannst Du SOFORT diese Formel nutzen:

\sum \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k}

.

Weiter. Du hast Ableitungen berechnet. Gut. Jetzt musst Du sie um Punkt

x_{0}

(bei Dir ist es

a

), also im Punkt

0

auswerten. Und zwar BEVOR Du sie in die Formel einsetzt. Du brauchst erste und zweite Ableitungen. Du hast

f^{ʹ} (0) = 0

und

f^{(2)} (0) = - 2

.
Und jetzt kannst Du endlich das Polynom schreiben:

T_{2} (x) = f (0) + f^{ʹ} (0) x + \frac{f^{(2)} (0)}{2!} x^{2} = 1 + 0 - x^{2} = 1 - x^{2}

.

Fertig.

andyi aktiv_icon

07:19 Uhr, 27.01.2015

Okay, großen dank für deine Geduld und deine ausführlichen Erklärungen drBoogie.

Dann war da noch eine zweite Teilaufgabe
(b) Geben Sie die Gleichung der Tangenten an die Funktion g an der Stelle x = 1 an.

Ich hab dann in die Ableitungen x = 1 eingesetzt.

g (x_{0} = 1) = \frac{1}{2}

g' (x_{0} = 1) = - 1

g ″ (x_{0} = 1) = - \frac{3}{2}

Und dann bekomme ich als Taylorpolynom zweiten Grades

T_{1} (x) = \frac{1}{2} - x - \frac{3}{4} x^{2}

Und das müsste die Tangente an x = 1 approximieren

aber ich denke, ich liege wieder falsch^^

DrBoogie aktiv_icon

07:44 Uhr, 27.01.2015

Ja, wieder falsch.
Die Gleichung der Tangente ist das Taylorpolynom ERSTEN Grades.
Übrigens, Deine erste Ableitung stimmt nicht. Da muss Quadrat im Nenner stehen.

andyi aktiv_icon

08:09 Uhr, 27.01.2015

T_1 (x = 1) = \ f r a c {1} {2} - \ f r a c {1} {2} x

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