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quadratisches gleichungssystem

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Gleichungssystem

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19:32 Uhr, 09.10.2008

hallo,
wie kann ich dieses gleichungssystem auflösen?:

{(x - 8)}^{2} + {(y - 6)}^{2} + {(z - 9)}^{2} = 16

{(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 7

{(x - 4)}^{2} + {(y - 0.5)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 9

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

19:40 Uhr, 09.10.2008

Hallo,

z.B. erste Gleichung den x-Term ausmultiplizieren und 16 auf die andere Seite bringen (so dass rechts 0 steht). Dann mit pq-Formel lösen, Ergebnis in 2.Gleichung einsetzen etc.

Bei der ersten Gleichung handelt es sich geometrisch gesehen übrigens um eine Kugel im

ℝ^{3}

mit dem Radius 4 und dem Mittelpunkt (8,6,9).

Gruß
Tobias

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19:48 Uhr, 09.10.2008

naja, aber du kannst doch nicht pq verwenden, da

a) 2

lösungen rauskommen

b)

was machst du mit den anderen 2 variablen?

anonymous

20:00 Uhr, 09.10.2008

zu a)
egal, es steht ja nirgendwo, dass die Lösung eindeutig sein muss. Quadratische Gleichungen haben im Allgemeinen zwei Lösungen.

zu b)
ich mach es mal bei der ersten Gleichung vor:

(x - 8)^{2} + (y - 6)^{2} + (z - 9)^{2} = x^{2} - 16 x + 72 + (y - 6)^{2} + (z - 9)^{2} = 16

\Leftrightarrow x^{2} - 16 x + 72 + (y - 6)^{2} + (z - 9)^{2} - 16 = x^{2} - 16 x + (56 + (y - 6)^{2} + (z - 9)^{2}) = 0

Nun ist:

p = - 16

q = 56 + (y - 6)^{2} + (z - 9)^{2}

Also pq-Formel:

x_{1 / 2} = 8 \pm \sqrt{64 - 56 + (y - 6)^{2} + (z - 9)^{2}} = 8 \pm \sqrt{8 + (y - 6)^{2} + (z - 9)^{2}}

Da unter der Wurzel eine Summe aus positiven Werten steht, gibt es zwei Lösungen...

Diese können nun für x in die zweite Gleichung eingesetzt werden... nach y-auflösen... etc. Ist aber eine elende Rechnerei...

Was ist denn die genaue Aufgabenstellung?

Gruß
Tobias

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20:06 Uhr, 09.10.2008

das ist für so ein matheprojekt, die zahlen hab ich zur vereinfachung einfach ausgedacht, hier die detaillierte aufgabe:
Teil

B

Die folgende Aufgabe behandelt den dreidimensionalen Fall. Sind von einem Standpunkt die räumli-chen Distanzen zu drei Punkten bekannter Position bekannt, kann daraus die Lage des eigenen Stand-punktes bestimmt werden.
Berechnen Sie die Koordinaten des eigenen Standpunktes O.

PUNKT A

x 1 : 3888806,888

y 1 : 696452,798

z 1 : 4990808,120

Punkt

B

x 2 : 3880220,736

y 2 : 701216,040

z 2 : 4996997,005

Punkt

C

x 3 : 3892694,551

y 3 : 716297,039

z 4 : 4985590,542

Strecken
AO

16188,809 m

11562,454 m

12747,290 m

die sterecken sind das, was hinter dem gleichheitszeichen steht;)

anonymous

20:24 Uhr, 09.10.2008

Naja, der Ansatz ist wohl richtig... Vielleicht geht es auch leichter, wenn du die ersten beiden Gleichungen nach Null umstellst und dann gleich setzt. Damit kannst du dann den Schnittpunkt zweier Kugeln bestimmen...

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20:27 Uhr, 09.10.2008

joa könnte man versuchen, aber wie macht man dann weiter, wenn man einen schnittpunkt hat?

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20:33 Uhr, 09.10.2008

außerdem hast du den schnittpunkt doch gar nicht, da du noch 3 variable hast, oder?^^

anonymous

20:34 Uhr, 09.10.2008

Naja, wenn du zwei Kugeln schneidest gibt es 3 Möglichkeiten:
a) es gibt genau einen Schnittpunkt (dann berühren sich die Kugeln nur)
b) es gibt keinen Schnittpunkt
c) es gibt unendlich viele Schnittpunkte, diese bilden dann einen Kreis

Das Ergebnis sollte sich als eine Kreisgleichung darstellen lassen. Von diesem Kreis müssen dann die Punkte bestimmt werden, die auf der dritten Kugel liegen...

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