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quadriken, zeichnen, normalform bestimmen

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Tags: Lineare Algebra, Quadrik, Sonstiges

Maikemalt aktiv_icon

10:52 Uhr, 14.08.2012

E = ℝ^{3}

sei in kartesischen Koordinaten die Quadrik

Q

durch ihre Gleichung

9 x_{1}^{2} + 24 x_{1} x_{2} + 16 x_{2}^{2} + 10 x_{1} - 20 x_{2} + 20 x_{3} + 21 = 0

gegeben. geben Sie eine symmetrische Matrix

A

, einen Spaltenvektor b und einen Skalar

c

an, so dass

Q

durch

x^{T} A x + 2 b^{T} x + c = 0

gegeben ist. Bestimmen Sie die Normalform von

Q

. Zeichnen Sie die Quadrik. was für eine Fläche beschreibt sie?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:27 Uhr, 14.08.2012

Hallo,

kannst Du

A, b, c

bestimmen. Wenn nicht berechne mal

[x 1, x 2, x 3) \cdot (\begin{matrix} a 11 & a 21 & a 31 \\ a 21 & a 22 & a 32 \\ a 31 & a 32 & a 33 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \end{matrix})

und verlgeiche mit der Aufgabenstellung.

Gruß pwm

Maikemalt aktiv_icon

12:20 Uhr, 14.08.2012

ich verstehe nicht ganz was du meinst und was ich genau berechnen kann. könntest du es etwas genauer sagen?

Maikemalt aktiv_icon

09:58 Uhr, 16.08.2012

hallo also ich habe es jetzt mal so versucht und komme auf:

A = (\begin{array}{rcl} 9 & 12 & 0 \\ 12 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

b = (\begin{array}{rcl} 5 \\ - 10 \\ 10 \end{array})

c = 21

Wie berechne ich denn jetzt die Normalform von Q. Muss ich jetzt A in Normalform bringen oder wie geht das?

vielen dank für deine hilfe!

michaL aktiv_icon

10:03 Uhr, 16.08.2012

Hallo,

natürlich muss ich erst mal die Frage loswerden, ob ihr das in der Übung noch nie an einem Beispiel gerechnet habt?!

Zur Frage selbst: Diese symmetrische Matrix kann diagonalisiert werden. Die Diagonalisierung entspricht einem Basiswechsel. Wechselt man die Basis geschickt (wirkt sich auch auf den linearen Term aus!) und ergänzt dann quadratisch, so erhält man die Normalform.

Mach erst mal die Diagonalisierung!

Mfg Michael

Maikemalt aktiv_icon

10:52 Uhr, 16.08.2012

hallo, leider haben eine solche aufgabe nicht in den übungen gerechnet.
also ich habe versucht die matrix zu diagonalisieren. ich habe das so gelernt, dass man die eigenwerte der matrix bestimmt und dann eine matrix S deren spalte die eigenvektoren sind aufstgellt für die dann gilt

S^{- 1} A S =

Diagonalmatrix

In diesem Fall haben wir als eigenvektoren zum eigenwert

\vec{x} = a (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + b (\begin{array}{rcl} - \frac{4}{3} \\ 1 \\ 0 \end{array})

und für den eigenwert 25:

\vec{x} = a (\begin{array}{rcl} \frac{3}{4} \\ 1 \\ 0 \end{array}) + b (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

als Matrix S habe ich dann

S = (\begin{array}{rcl} 0 & - \frac{4}{3} & \frac{3}{4} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})

und als Diagonalmatrix ergibt sich dann:

S^{- 1} A S = (\begin{array}{rcl} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 25 \end{array})

Ist das soiwet das was du gemeint hast?

michaL aktiv_icon

11:51 Uhr, 16.08.2012

Hallo,

grundsätzlich ja. In diesem Falle (symmetrische Matrix) gibt es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Und darum geht es. Die Matrix

S

für die Basistransformation lässt in gewisser Weise mehrere Möglichkeiten zu. So ist es egal, ob du einen Eigenvektor

v

nimmst oder sogar

2 v

. Auf diese Weise bleibt also eine Wahlmöglichkeit.
Bei der Hauptachsentransformation (und das ist hier gefordert) wäre es gut, eine Matrix

S

zu finden, für die

S^{- 1} =^{T} S

gilt, da du ja dann

A =^{T} S D S

für eine Diagonalmatrix hast.
Dann kannst du

^{T} x A x

ersetzen in

^{T} x (^{T} S D S) x

. Und nur wegen der Transponierten wird das dann zu

^{T} (S x) D (S x)

.
Damit wird dann deutlich, dass man die Basistransformation

x \mapsto S x

durchführen muss, um die Gleichung in Richtung Normalform zu bringen.

Der langen Rede kurzer Sinn, du musst die Eigenvektoren für

S

als Orthonormalbasis wählen. Für den Eigenwert 25 bleibt nicht viel Auswahl. Den musst du nur normieren.
Für den Eigenwert 0 musst du auch normierte Eigenvektoren wählen, die aber zu dem Eigenvektor zum Eigenwert 25 orthogonal sind UND auch zueinander. Das ist nicht so schwierig.
Schlimmstenfalls nimmst du die drei Vektoren, die du schon hast und lässt das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren drüber laufen. Speziell bei deinen Vektoren hast du schon gegeben, dass sie paarweise orthogonal sind, die musst du nur noch normieren.

Das ist zwar auch noch nicht alles, wird aber noch!

Mfg Michael

Maikemalt aktiv_icon

12:21 Uhr, 16.08.2012

also jetzt habe ich als orthonormalbasis das hier:

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}), (\begin{array}{rcl} - \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{rcl} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \\ 0 \end{array})

was mache ich denn nun mit diesen drei Vektoren? Und wie komme ich zu guter letzt auf die Normalform von Q?

michaL aktiv_icon

12:38 Uhr, 16.08.2012

Hallo,

diese erfüllen schon mal das Kriterium einer Orthonormalbasis. Wenn du diese Vektoren als Spalten einer Basistransformationsmatrix

S

wählst, kommt die gleiche Diagonalmatrix 'raus, wie in deinem vorherigen Post, mit dem Unterschied, dass für diese(!) Matrix die Gleichung

^{T} S = S^{- 1}

gilt.
Kannst du das bestätigen?

Um nun zu der durch diese Basistransformation hervorgerufene "Normal"form zu kommen, musst du in der Gleichung

^{T} \vec{x} A \vec{x} + \vec{b} \vec{x} + c = 0

jeweils

\vec{x ʹ} =^{T} S \vec{x}

ersetzen (das ist die Basistransformation!).
Wegen

A = S D (^{T} S)

wird also aus der Ausgangsgleichung

^{T} \vec{x} A \vec{x} +^{T} \vec{x} \vec{b} + c = 0

über die Gleichung

^{T} \vec{x} S D (^{T} S) \vec{x} +^{T} \vec{x} \vec{b} + c = 0

die Gleichung

^{T} \vec{x ʹ} D \vec{x ʹ} +^{T} \vec{x ʹ} S \vec{b} + c = 0

.

Mach dir das bitte klar (soll heißen, dass es dazu bestimmt noch die eine oder andere Frage geben wird) und berechne die Dinge, die in dieser Gleichung berechenbar sind. Damit meine ich, dass du die vektorielle Gleichung wieder durch Ausführung der Matrizenmultiplikation(en) in die Form der Ausgangsgleichung bringst.
Dann reden wir weiter.

Mfg Michael

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