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rang(ABC) = rang(B)
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: Vektorraum
 
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Sei Y eine beliebige mxn MAtrix über K und X und Z reguläre matritzen mit mxm und nxn. Nun soll gezeigt werden, dass der rang von XYZ gleich dem rang von Y ist.
naja regulär heißt ja nix anderes wie, dass die MAtritzen invertierbar sind bzw. vollen rang haben..... hmm hätte jemand einen typ wie ich anfangen könnte.... |
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Hallo, tja, du könntest auf sehr grundlegendem Niveau an die Sache herangehen. Eigentlich geht es doch um die Hintereinanderschaltung von Abbildungen bzw. um Gleichungen der Art und bzw. für Vektoren . Beide Fälle würde ich getrennt voneinander abarbeiten, also die Aussage zerlegen in die beiden Teilaussagen (i) und haben den gleichen Rang für reguläre Matrizen . (ii) und haben den gleichen Rang für reguläre Matrizen . Letzlich musst du für (ii) z.b. ja nur beweisen, dass gilt. Ähnlich einfach ist die Sache bei (i), wenn ihr schon erarbeitet habt, dass der Spaltenrang gleich dem Zeilenrang ist. Denn dann geht es um . Mfg Michael |
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hi! also verstehe ich das richtig, dass du darauf hinaus willt, dass wenn Yx=0 gilt. der def(Y)=0 und rang(Y) =m? so ist das x=0, da def(Y)=0. und so bleibe ich durch eine multpl. auch im rang. das gleiche für I nur halt von rechts? lg |
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Hallo, ich will darauf hinaus, dass aus durch Multiplizieren von links mit der (regulären) Matrix die Gleichung wird (das sollte klar sein und gilt auch für nicht reguläre Matrizen ). Umgekehrt wird doch aus durch Multiplizieren mit (das geht halt nur bei regulären Matrizen) von links wieder die GLeichung . Also gilt . Damit gilt: Die Dimension des Kern der von induzierten Abbildung ist gleich der Dimension des Kerns der durch induzierten Abbildung (die Kerne sind sogar gleich). Wegen der Kern-Bild-Satzes müssen dann auch die Dimensionen der jeweiligen Bilder gleich sein (hier wird im Allgmeinen nur die Dimension gleich sein), was aber gerade den Rängen der jeweiligen Matrizen bzw. entspricht. Wir halten fest: Das Multiplizieren mit einer regulären Matrix von links verändert den Rang einer Matrix nicht! Das gleiche kannst du mit dem angedeuteten Trick völlig analog auch für die Multiplikation von rechts machen. Damit erhieltest du: Das Multitplizieren mit einer regulären Matrix von rechts verändert den Rang einer Matrix nicht! Korollar: Multipliziert man eine Matrix mit einer regulären Matrix (egal, ob von links oder rechts), so ändert sich der Rang nicht. Und das sollst du ja wohl beweisen, oder? Mfg Michael |
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manchmal sind die sachen so billig, dass man gar nicht daran denkt ^^ danke jedenfalls :)
lg |
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