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rechenregeln im Vektorraum

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Tags: Vektorraum

lenieee aktiv_icon

19:34 Uhr, 19.09.2013

Hi.....ich steh grad irgendwie an bei den Beweisen der Rechenregeln im Vektorraum.
Ich hoffe es kann mir irgendwer weiterhelfen=)

Def: Sei (V,+,.) ein VR über K. (O ist der Nullvektor und o der Skalar)

1) (alle veV) ov=O
2) (alle beK) bO=O
3) (alle beK, veV) bv=O => b=0 oder v=0
4) (alle veV) (-1)=-v
Beweis: Wir folgern aus 0+0=0
ov+ov= (o+o) v = ov " bis daher verstehe ichs doch dann komm ich auf einaml auf" =ov+O und durch Kürzungsregel erhatle ich ov=O
Also ich versteh nicht wo der Nullvektro aufeinmal herkommt und die Kürzungsregel sagt mir auch nicht wirklch was.
(2) folgt dann analog zu (1) oder?
(3) Sei bv= O und b nicht o zeige v=O
O = b^-1 O = b^-1 (bv) (b^-1 .b) v = v
Also diesen beweis versteh ich ich weiß nicht nur nicht warum ich da das b^-1 in die Gleichung setzen darf
(4) Es gilt wegen Distributivität
v+(-1) = 1v + (-1)v =(1-1= ov =O
diesen Beweis verstehe ich nur ich weiß irgendwie nicht was diese rechenregel jetzt aussagen soll.

Ich hoffe es hilft mir wer weiter...danke schon in voraus=)
glg Sarah

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Rechenregeln zum Integral
Rechnen mit Logarithmen

ARTMath100 aktiv_icon

00:48 Uhr, 20.09.2013

Der Nullvektor O ist mit der Definition des Vektorraumes (Körper und die Rechenoperationen + und * )das neutrale Element bzgl. der Addition. Damit gilt für alle $v \in V R : v + O = v$ und damit insbesondere für $o \cdot v \in V R : o \cdot v + O = o \cdot v$

Das wurde im Beweis zu 1) verwandt!

$b^{- 1}$ ist das inverse Element bzüglich der Multiplikation, wegen Vektorraum besitzen alle $b \in V R : b \neq 0$ ein inverses Element!

$- 1 \cdot v = - v$ ist zu zeigen. Das bedeutet, wenn ich ein beliebiges Element v aus dem VR mit dem Skalar -1 multipliziere, erhalte ich das inverse Element bezüglich + zu v, für inverse Elemente -v bzgl + muss aber gelten:

v+(-v)=v-v=0

Das ist im Beweis gezeigt und damit ist die Behauptung aus 4) richtig!

lenieee aktiv_icon

21:09 Uhr, 20.09.2013

Hi...danke=)
ich versteh alles bis auf den ersten beweis da steh ich leider noch immer voll am schlauch...

Sina86

21:55 Uhr, 20.09.2013

Hi,

wie ARTMath100 bereits sagte, kann man jeden Vektor im Vektorraum mit dem Nullvektor

0

addieren, ohne den Vektor zu verändern. Es gilt also immer

w + 0 = w

.

In deinem Beweis steht dann also erst

o v + o v = o v

. Und

o v

ist irgendein Vektor im Vektorraum (ob das der Nullvektor ist, wissen wir jetzt noch nicht). Ich kann ihn also einfach substituieren, also z.B.

w = o v

. Dann verwende ich obige Aussage, dass immer

w + 0 = w

ist. Jetzt setze ich

w

wieder ein

o v + 0 = o v

(das Substituieren kann man hier selbstverständlich weglassen). Und insgesamt steht nun in der Zeile

o v + o v = o v + 0

Die Kürzungsregel besagt, dass wenn man auf beiden Seiten einer Gleichung dasselbe Gruppenelement hat, dann kann man es wegkürzen (d.h. streichen. Mit anderen Worten, man addiert beide Seiten der Gleichung mit

- o v

). Und dann steht da halt

o v + o v - o v = o v + 0 - o v

Nun verwendet man das Kommutativgesetz der Vektoraddition

o v - o v + o v = o v - o v + 0

und das Assoziativgesetz

(o v - o v) + o v = (o v - o v) + 0

Und da

- o v

das inverse Element von

o v

bzgl der Addition ist, gilt also

o v - o v = 0

. D.h. da steht dann

0 + o v = 0 + 0

Da stehts

w + 0 = w

gilt (auch für den Fall

w = 0

), ist also

o v = 0

Und damit ist der Beweis beendet (allerdings sehr detailliert, die meisten Schritte wurden bei dir weggelassen und einfach die Kürzungsregel erwähnt).

Lieben Gruß
Sina

lenieee aktiv_icon

22:05 Uhr, 20.09.2013

Hi...vielen vielen Dankt=)

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