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rechnen mit dimensionen von unterräumen???
Universität / Fachhochschule
Tags: Algebra
 
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anonymous 21:42 Uhr, 01.12.2003  |
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hab ne aufgabe, von wegen U1 und U2 seinen zwei 4 dimensionale unterräume eines sechs dimensionalen K vektorraums! beweisen sie: 2<= dim U1 (durchschnitt) U2<=4 ????? versteh nichts ausser bahnhof, wie soll ich mir denn die dimension vorstellen, als einheitsvektoren??? |
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Hallo Martin, wegen der Vorstellung: Schau dir mal den dreidimensionalen Raum an. Für den Durchschnitt von zwei zweidimensionalen Räumen da drin gilt 1<=dim(U1 d U2)<=2. Also wenn die zwei Teilräume irgendwie wild drin liegen, ist die Dimension des Schnittes eine Gerade, falls die Unterräume gleich sind ist es eine Ebene. In der Linearen Algebra gibt es einen Satz (Austauschsatz ?), der folgendes besagt: Wenn ich einen endlich-dimensionalen (Vektor)-Raum habe und eine Basis eines Unterraumes, dann kann ich die Basis dieses Unterraumes zu einer Basis des Raumes erweitern durch Hinzufügen neuer Basiselemente. Mit diesem Satz sollte dich das Problem erschlagen lassen. Es gibt auch einen speziellen Satz, in dem die Abschätzung für den Durchschnitt von Unterräumen allgemein gemacht wird, die Beweisidee von diesem kann man ja mal durchgehen. Ich werde mich morgen mal deswegen schlau machen. Tschüß |
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Nix vorstellen, in die Definition bzw. Charakterisierungen dazu gucken. Die Dimension ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Wenn U1 die Dimension 4 hat, U2 die Dimension 4, dann kann U1 geschnitten U2 keine größere Dimension als 4 haben. (denn: Angenommen, doch. Dann gäbe es in U1 geschn. U2 mehr als 4 linear unabhg. Vektoren {x1,x2,x3,x4,x5,...xn}. Jeder dieser Vektoren liegt aber in U1 (weil U1 geschn. U2 Teilmenge von U1 ist). Also hätte U1 eine größere Dimension als 4, im Widerspruch zur Voraussetzung). Also gilt schonmal: dim(U1 geschn. U2)<=4. Wie man das andere, dim U1 geschn. U2 >=2 so zeigt, sehe ich jetzt nicht, aber erinnere mich an eine Dimensionsformel, die ich mal gerade nachgeschlagen habe und dir hiermit vorstelle, falls noch nicht bekannt (falls bekannt in den Beweis gucken, falls nicht, erst beweisen, dann benutzen. Findest du z.B. mit Google, wenn du nach diversen Lineare-Algebra Skripten suchen läßt. Suche einfach nach "Dimensionsformel"): Es seien U, U' lineare Unterräume eines K-Vektorraums V. Dann gilt: dimU+dimU'=dim(U+U')+dim(U geschn. U') (*) Hier: dim(U1+U2)>=4, weil dimU1=4 und U1 ist Teilmenge (Untervektorraum) von U1+U2 (also ist auch jede Basis von U1 in U1+U2 eine linear unabhängige Familie => dim (U1+U2)>=4) U1+U2 ist ebenso Untervektorraum des 6 dimensionalen Vektorraums, also kann dim(U1+U2) nicht größer als 6 werden (denn dann hätte der 6-dimensionale Vektorraum mehr als 6 Basisvektoren). Beachte: Für u1 aus U1 und u2 aus U2 sind sowohl u1 als auch u2 aus dem 6-dim. Vektorraum und damit auch die Summe von u1 und u2. Es gilt also: 4<=dim(U1+U2)<=6 (**), und wir ersetzen in (*) U durch U1, U' durch U2: dimU1+dimU2=dim(U1+U2)+dim(U1 geschn. U2) => 4+4=dim(U1+U2)+dim(U1 geschn. U2) <=> dim(U1 geschn. U2)=8-dim(U1+U2) Mit der Abschätzung (**) folgt dann aber 8-6<= dim(U1 geschn. U2)<=8-4, also 2<=dim(U1 geschn. U2)<=4 Viele Grüße Marcel |
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