rekursive Definition und vollständige Induktion

Hallo,

komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

D (n) ist rekursiv definiert.

1. D(1)=0

2. D(n+1)= - ${\displaystyle \frac{1}{2+\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}$

Durch vollstädnige Induktion soll gezeigt werden, dass D(n)= - ${\displaystyle \frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ gilt.

Induktionsanfang gilt.

n -> n+1:

D(n+1) = - ${\displaystyle \frac{1}{2+\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}$ = - ${\displaystyle \frac{1}{2-\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$= - ${\displaystyle \frac{1}{2\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$= -${\displaystyle \frac{1}{\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$= - ${\displaystyle \frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}}$

wo liegt mein fehler, denn das ergebnis muss ja - ${\displaystyle \frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$ sein (laut induktionsbehauptung)??

super dankeschön