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rekursive Folge in explizite Form

Schüler , 5. Klassenstufe

Tags: Annuität, Darlehen, rekursiv definierte Folge

Mathelix aktiv_icon

11:44 Uhr, 21.05.2010

Hallo liebes Forum

Ich bräuchte mal etwas Hilfe mit einer Folge. Die rekursive Form ist bekannt. Für einfacheres Berechnen wird die explizierte Form gesucht.

Ich weiß, dass man aus einer rekursiven Form irgendwie die explizite Form ermitteln kann, habe das in der Schule schon gemacht. Im Internet stehen leider nur die Formeln für arithmetische, harmonische usw. Folgen aber nicht für mein spezifisches Problem.

Ach ja hier mein das Beispiel, wie gesagt keine arithmetische Folge, da der Zählindex j in der Bildungsvorschrift nochmal explizit vorkommt:

K[j+1] = (1+z0+j*z) * K[j] – B = (b*j+a) * K[j] - c

Es handelt sich übrigens (falls das jmd. Interessiert) um eine Darlehensberechnung.

K[j] ist die Restschuld, der Zinssatz ist linear steigend mit z=z0+j*z und B ist ein konstanter Betrag, der jährlich für Tilgung und Zins aufgewendet wird. J ist das Jahr und K0 wäre die Kreditsumme. Auf der rechten Seite habe ich das nochmal verallgemeinert.

Ein kurz erklärter Lösungsweg wäre sehr willkommen, da mich die Problem noch für verschiedene andere Zinsfunktionen und Rückzahlungsfunktionen interessiert.

Jedenfalls Danke hierfür schon im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

16:01 Uhr, 22.05.2010

Die einfachsten Spezialfälle sind

K_{j + 1} = b \cdot j \cdot K_{j}, K_{1} = 1 \Rightarrow K_{j} = b^{j} \cdot (j - 1)!

K_{j + 1} = a \cdot K_{j}, K_{0} = 1 \Rightarrow K_{j} = a^{j}

.
Man dürfte die Verallgemeinerung der Fakultät, die Gamma-Funktion
http//de.wikipedia.org/wiki/Gamma-Funktion
mit der wesentlichen Eigenschaft

Γ (x + 1) = x \cdot Γ (x)

benötigen.

Der Fall

b = 0, a \neq 1,

also

K_{j + 1} = a \cdot K_{j} - c,

ist recht einfach:
Setze

L_{j} = K_{j} + \frac{c}{1 - a},

so gehorcht

(L_{j})

der Rekursion

L_{j + 1} = K_{j + 1} + \frac{c}{1 - a} = a \cdot K_{j} - c + \frac{c}{1 - a} = a \cdot (L_{j} - \frac{c}{1 - a}) - c + \frac{c}{1 - a} = a \cdot L_{j},

also

L_{j} = a^{j} \cdot L_{0}

.
Somit

K_{j} = L_{j} - \frac{c}{1 - a} = a^{j} \cdot L_{0} - \frac{c}{1 - a} = a^{j} \cdot (K_{0} + \frac{c}{1 - a}) - \frac{c}{1 - a}

.
Der Sonderfall

b = 0, a = 1

ergibt hingegen offensichtlich

K_{j} = K_{0} - j \cdot c

.

Der Fall

c = 0, b \neq 0

ist schon etwas komplizierter:
Erfüllt

(K_{j})

die Rekursion

K_{j + 1} = (b \cdot j + a) K_{j}

mit

b \neq 0,

so erfüllt

L_{j} := b^{- j} K_{j}

die Rekursion

L_{j + 1} = (j + \frac{a}{b}) L_{j},

was von

L_{j} = Γ (j + \frac{a}{b})

erfüllt wird.
Es geht natürlich auch jedes konstante Vielfache hiervon, also

L_{j} = C_{1} \cdot Γ (j + \frac{a}{b}),

und das sind dann auch schon alle Lösungen.
Somit haben wir mit der einzig passenden Wahl von

C_{1} :

K_{j} = b^{j} \cdot L_{j} = \frac{K_{0}}{Γ (\frac{a}{b})} \cdot b^{j} \cdot Γ (j + \frac{a}{b})

Der allgemeine Fall

(b \neq 0, c \neq 0)

scheint mir etwas kniffliger zu sein.

Mathelix aktiv_icon

18:19 Uhr, 25.05.2010

Danke hagman für den die Erklärung mit der Gamma-Funktion.

Habe das übrigens heute mit einem TI-89 Emulator über einfaches Einsetzen von

K [j - 1]

nach

K [j]

versucht zu lösen. Es entstehen Summen von ziemlich langen und unübersichtlichen Polynomen j-ter Ordnung, die sich so einfach nicht als Funktion

f (j)

darstellen lassen. Ich befürchte man rechnet hier übersichtlicher mit der rekursiven Form. Schade eigentlich...

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