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rekursive Folgen
Schüler Fachschulen, 6. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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anonymous 22:31 Uhr, 22.03.2007  |
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Hallo. Wir ham begonnen Folgen und Reihen durchzunehmen und ich hab wahnsinig bald schularbeit und wir machen da immer so seltsame beispiele und ich hab einfach keine ahnung wie das gehen soll z.B: xn = (n-1)² + 3 dann die ersten 5 glieder ausrechnen und dann eine vermutung auf die rekursive darstellung und das beweisen. ich hab kein problem mit den ersten 5 gliedern ausrechnen und mit dem beweis auch nicht wenn ich mal die vermutung hab aba ich weiß einfach nicht wie ich auf diese vermutung komme, aah ich brauch bitte bitte bitte hilfe *verzweifeltbin* Lg |
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Schonmal gut, dass das Einsetzen klappt. Da ermitteln wir doch sofort einen Startwert x0= 4 bzw. x1=3 , je nachdem wo die Folge anfangen soll. Dann schauen wir uns xn= (n-1)² +3 und xn+1= n² +3 an... xn= n² -2n +1 +3 = xn+1 -2n +1 <=> xn+1= xn +2n -1. - Ist das rekursiv genug? Oder bevorzugt ihr andere Darstellungen? Edit + Ergänzung: Falls ihr den (seltsamen) Differenzenoperator Δ (auf dem Vektorraum der Folgen mit reellen Koeffizienten) durchgenommen habt: Δ(xn) := xn+1 -xn, so weiss man, dass dieser polynomiale Folgen um (mind.) 1 Grad kürzer macht. Zweimalige Anwendung würde also im obigen Fall eine Konstante erzeugen: Δ²(xn)=2 = xn+2 -2* xn+1 +xn. Damit hätte man auch: xn+2 = 2* xn+1 -xn +2 für n > 1 und x0= 4; x1=3 als rekursive Darstellung Eine solche Darstellung hätte den Vorteil, dass man nur noch die Konstante Δk(xn) und die Startwerte x0,..,xk errechnen muss, falls grad(xn)= k, da die Koeffizienten von xn+k,..,xn alternierende Binomialkoeffizienten sind (-> Pascalsches Dreieck). Die Δk(xn) bekommt man jedoch als fortgesetzte Differenzen der Startwerte... x0 = 4 -> 4-3= 1 -> 1 -(-1)=2 = Δ2(xn) x1 = 3 -> 3-4=-1 x2 = 4 Wer aufgepasst hat, weiss, dass Δk+1(xn)=0 bei grad(xn)=k. Dies erspart die lästige Konstante und man braucht nur einen Startwert mehr... xn+3 -3*xn+2 + 3*xn+1 -xn=0 für n > 2 und x0= 4; x1=3; x2=4. Da links stets alternierende Binomialkoeff. stehen, braucht man bei polynomialen Folgen garnicht mehr nachdenken. Es fehlen nur die ersten Startwerte. Jetzt macht der Aufgabentext auch Sinn *g* Die ersten 5 Glieder bei xn= (n-1)² +3 zu bestimmen, wäre pure Verarschung. Wie gezeigt, reichen 3 völlig aus. Ich würde mich beim Direktor über den Lehrer(in) wg. unintelligente Mehrarbeit beklagen... -Steele- ________________________ *MUHAHA* www.matheboard.de/thread.php?threadid=81666 (irgendwas ist immer...) |
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