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relative Lage von E und g untersuchen. Wie?

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: relative Lage

StellaMary

15:27 Uhr, 01.01.2010

Hallo!
Ich muss die relative Lage von der Ebene

E : x = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix})

und von der Gerade

g : x = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix})

untersuchen.
Ich weiß nicht wie ich da anfangen soll und was ich da genau machen soll.
Könnte mir bitte jemand einen Ansatzt geben?

Danke schonmal ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

munichbb

15:30 Uhr, 01.01.2010

Hi,

willst du mit oder ohne Umformung lösen?

g = E;

oder

Ebene in Koordinatenform (schneller).

m u b b

StellaMary

15:35 Uhr, 01.01.2010

Ich weiß nicht. Ich glaube ich soll mit Umformen machen...
Ich soll danach den Schnittpunkt berechnen falls es einen gibt. Wäre das leichter mit oder ohne umformen? Ne blöde Frage. Aber was meinst du mit umformen? In die Normalenform umformen?

munichbb

15:41 Uhr, 01.01.2010

Hi,

also mit Umformen.

Wie lautet der Normalenvektor?

m u b b

StellaMary

15:42 Uhr, 01.01.2010

Da habe ich

- x - y + z = 2

raus.

munichbb

15:53 Uhr, 01.01.2010

Hi,

Normalenvektor:

n (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix})

Skalarprodukt:

(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = 1;

Koordinatenform:

E : 2 x - y + 3 z = 1;

m u b b

StellaMary

16:01 Uhr, 01.01.2010

Upps... Was habe ich ausgerechnet?

munichbb

16:05 Uhr, 01.01.2010

Hi,

wie rechnest du den Normalenvektor? Richtungsvektoren der Ebene:

Ergänzt mit jeweils

x

und

y :

Multiplikation "(Abwärts - Aufwärts)": Kreuzprodukt:

(\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ 1 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

(- 1) (- 1) - (- 1) (1) = 1 - (- 1) = 2;

1 - (- 2) (- 1) = - 1;

(- 2) (- 1) - (- 1) (1) = 3;

m u b b

StellaMary

16:08 Uhr, 01.01.2010

Habe drei Gleichungssysteme aufgestellt und dann so umgestellt, dass

x y z = . .

.
da steht. Bin mir allerdings nicht sicher ob ich das richtig ausgerechnet habe. Kann das nämlich nicht so 100%ig. Bin mir gerade auch nicht mehr sicher ob man die Normalenform so bestimmt^^

munichbb

16:22 Uhr, 01.01.2010

Hi,

einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung:

E : 2 x - y + 3 z = 1;

2 (1 + 2 r) - (- 1 + 4 r) + 3 (2 - r) = 1;

r = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3};

\to

Schnittpunkt mit der Ebene,

wenn du "r" in die Gerade einsetzt bekommst du den Schnittpunkt.

Noch Fragen?

m u b b

StellaMary

16:30 Uhr, 01.01.2010

Wie bist du auf die Ebenengleichung gekommen?

munichbb

16:33 Uhr, 01.01.2010

Hi,

Ebenengleichung:

Mit

Normalenvektor und Skalarprodukt

\to

Koordinatenform;

siehe oben.

m u b b

StellaMary

16:37 Uhr, 01.01.2010

Achso sorry ich meinte wie du auf den Normalenvektor gekommen?

munichbb

16:49 Uhr, 01.01.2010

Hi,

hab ich dir oben gerechnet:

Normalenvektor der Ebene

\to

Vektorprodukt der Richtungsvektoren der Ebene.

m u b b

StellaMary

17:17 Uhr, 01.01.2010

ich hab hierzu eine Frage:

" Hi,

wie rechnest du den Normalenvektor? Richtungsvektoren der Ebene:

Ergänzt mit jeweils

x

und

y :

Multiplikation "(Abwärts - Aufwärts)":

(- 2 - 11 - 2 - 1) | (1 - 1 - 11 - 1)

(- 1) (- 1) - (- 1) (1) = 1 - (- 1) = 2;

1 - (- 2) (- 1) = - 1;

(-2)(-1)-(-1)(1)=3;"

Wie du bei

(- 2 - 11 - 2 - 1) | (1 - 1 - 11 - 1)

aud jeweils die rsten 3 zahlen kommst weiß ich aber wie kommst du auf die letzten 2? Und das mit dem rehcnen kenne ich gar nicht.

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17:36 Uhr, 01.01.2010

Einen Normalenvektor der Ebene kann man mit dem Kreuzprodukt wie hier in dem Beispiel berechnen:

http//de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Komponentenweise_Berechnung

Danach ist allerdings nur noch das Skalarprodukt von Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Geraden zu berechnen, da der Schnittpunkt selbst ja uninteressant für die Fragestellung ist. Es kommt nur darauf an zu prüfen ob diese beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen (Skalarprodukt ist null) oder nicht (Skalarprodukt ist ungleich null). Daraus kann man dann folgern wie Ebene und Gerade zueinander liegen.

StellaMary

17:48 Uhr, 01.01.2010

Danke für die Hilfe!
Ich werde mir das jetzt alles nochmal in Ruhe durchlesen und wenn noch eine Frage auftaucht meld ich mich nochmal^^

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18:01 Uhr, 01.01.2010

Schau mal in deine Unterlagen wie ihr das sonst immer gemacht habt.
Es gibt da ja mehrere Möglichkeiten an die Aufgabe ranzugehen.
Vielleicht habt ihr diesen Weg gar nicht gemacht, dann kannst du das natürlich nur schwer nachvollziehen.

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