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rot(grad lambda)) = 0
Universität / Fachhochschule
Tags: Gradient, Rotation, Skalerfeld
 
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Hallo! In den Tensor-Vorlesungen der Uni Wien ( www.youtube.com/watch?v=0tjWWS2DGmU von 52:47 bis 56:08) lernt man, dass gilt: Ich versuche, mir das irgendwie bildlich vorzustellen. Man geht von einem Skalarfeld aus, z. B. von etwas 2-dimensionalem: Davon kann ich Gradienten ermitteln, und erhalte somit ein Vektorfeld. Das liegt ebenfalls wieder auf einer 2-dimensionalen Ebene. Von diesen Vektoren wird dann die Rotation berechnet. Und das soll dann ergeben. Leider habe ich ein Problem damit, mir das vorzustellen. Das Vektorfeld kann irgendwie aussehen. Warum muss die Rotation dann sein? Das ist eigentlich sogar total unlogisch. Denn das Vektorfeld könnte natürlich auch aussehen wie das eines rotierenden Festkörpers. Und dann liefert die Rotation einen Vektor mit einer bestimmten Länge > 0. Könnt ihr mir das vielleicht irgendwie erklären, sodass ich mir das bildlich vorstellen kann? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ah, ich glaube, mir dämmert langsam, was ich hier falsch mache. Ich kann zwar für einen rotierenden Festkörper ein Vektorfeld bilden, wo sich die Geschwindigkeitsvektoren tangential um den Mittelpunkt drehen, allerdings sind das keine Gradienten-Vektoren. Gradient ist gleichbedeutend mit einer Änderung. Wenn die Vektoren Gradienten sind, muss also irgendwas immer größer werden. Wenn aber in einem Kreis etwas immer größer wird, hat man eine Unstetigkeit, sobald man wieder beim Startpunkt ankommt. Siehe erste Grafik im Anhang (mit freundlicher Unterstützung von wolframalpha.com). Eine Unstetigkeit hat man nur dann nicht, wenn der Endpunkt der geschlossenen Kurve wieder sauber mit dem Anfangspunkt zusammenfällt. D. h. es kann zwar auf einem Kreis Gradienten geben, aber die Summe der positiven Steigungen muss der Summe der negativen Steigungen entsprechen. D.h. in Summe ist der Gradient . Beispiel siehe zweite Grafik. Und hat man nur -Vektoren, muss die rot zwansläufig ebenfalls sein. Ist das richtig so?   |
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Gradient zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs. Wenn du da eine Rotation hättest, würde sich der steilste Anstieg auch im Kreis drehen müssen. Anschaulig, wenn du immer in den Bergen in die Richtung des steilsten Anstieg gehst, landest du irgendwann im lokalem Maximum. Du landest aber nie in der Ausgangsposition, weil die ja logischerweise tiefer liegt (sobald nicht alles komplett gleich hoch ist), du rotierst also auch nicht. |
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Zum Gebirgsbild: der Gradient steht immer senkrecht auf den Höhenlinien. |
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@sprtka Das scheint ja genau das zu sein, was auch ich gemeint habe. Vielen Dank :-) Jetzt kommt noch so ein ähnliches Problem, für das ich aber ein eigenes Thema aufmachen muss. Das wird vermutlich wesentlich komplizierter. |
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