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schwache Konvergenz impliziert starke

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Konvergenz

Lamy99 aktiv_icon

17:29 Uhr, 12.12.2021

Hallo, ich habe einige Fragen zu folgender Aufgabe:

Sei

X

ein gleichmäßig konvexer Banachraum,

(x_{n})_{n}

Folge in

X

mit

x_{n} \to x \in X

schwach und

l i m s u p_{n \to \infty} ∣ ∣ x_{n} ∣ ∣ \leq ∣ ∣ x ∣ ∣

. Zeige, dass dann

x_{n} \to x

X

I d e e :

Sei

x^{ʹ} \in X^{ʹ}

mit Norm 1 und

x^{ʹ} (x) = ∣ ∣ x ∣ ∣

, dann

\frac{∣ ∣ x_{n} + x ∣ ∣}{2} = \frac{∣ ∣ x^{ʹ} ∣ ∣_{X^{ʹ}} \cdot ∣ ∣ x_{n} + x ∣ ∣}{2} \geq ∣ ∣ x^{ʹ} (\frac{x_{n} + x}{2}) ∣ ∣_{X^{ʹ}}

.
Problem 1: nun wollte ich die schwache Konvergenz ausnutzen und die Definition der gleichmäßigen Konvergenz würde die Behauptung zeigen, aber wie komme ich von der Norm auf nur

x^{ʹ} (\frac{x_{n} + x}{2})

? Indem ich einfach weiter nach unten abschätze? Desweiteren habe ich nicht

l i m s u p_{n \to \infty} ∣ ∣ x_{n} ∣ ∣ \leq ∣ ∣ x ∣ ∣

ausgenutzt, was uns zu Problem 2 führt:

Für gleichäßige Konvexität brauche ich ja normierte Elemente, heißt

{\tilde{x}}_{n} := \frac{x_{n}}{∣ ∣ x_{n} ∣ ∣}

. Sei wieder

x^{ʹ} \in X^{ʹ}

, dann

x^{ʹ} (\frac{x_{n}}{∣ ∣ x_{n} ∣ ∣_{x}}) = \frac{x^{ʹ} (x_{n})}{∣ ∣ x_{n} ∣ ∣}

, ich weiß, dass

x^{ʹ} (x_{n}) \to x^{ʹ} (x)

nach Voraussetzung, aber was gilt für

∣ ∣ x_{n} ∣ ∣

? Benötige ich hier limpsup?

Danke für jede Hilfe zum Lösen dieser Aufgabe!

DrBoogie aktiv_icon

17:32 Uhr, 12.12.2021

aam.uni-freiburg.de/agru/lehre/old/fa1ws2006/kap3.pdf
Satz 4.24

Lamy99 aktiv_icon

17:34 Uhr, 12.12.2021

Oh das ging schnell, vielen Dank

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