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schwere Logarithmus Aufgabe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Logarithmusgleichung

-SpiegelKind- aktiv_icon

15:54 Uhr, 04.07.2009

Hallo zusammen!

Ich hab ein dringendes Problem - ich müsste über folgende Aufgabenstellung referieren, hab aber nicht mal den Ansatz einer Idee, wie ich die Aufgabe überhaupt angehen sollte...

a)

Für welche Zahlen ist die Wurzel aus ihrem natürlichen Logarithmus gleich dem natürlichen Logarithmus ihrer Wurzel?

b)

Für welche Zahl zwischen 1 und

e^{4}

ist der Unterschied zwischen der Wurzel aus ihrem natürlichen Logarithmus und dem natürlichen Logarithmus ihrer Wurzel am größten?

c)

Berechne den Inhalt der Fläche zwischen der x-Achse und der Kurve

y = ln x - (ln

Wurzel(x))^2

Bisher hab ich folgendes zur Teilaufgabe

a :

\sqrt{ln (x)} = ln (\sqrt{x})

\sqrt{ln (x)} = 0,5 ln (x)

Dann wurde mir gesagt, ich solle

ln (x)

mit

z

substituieren, also:

\sqrt{z} = 0,5 z

z = 0,25 z^{2}

Nun komme ich aber nicht weiter, da ich ja Lösungen unterschlage, wenn ich durch

z

teile.

Kann mir bitte jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen

HP7289 aktiv_icon

16:12 Uhr, 04.07.2009

a) \sqrt{ln (x)} = ln (\sqrt{x})

{ln (x)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} ln (x)

0 = ln (x) - 2 {ln (x)}^{\frac{1}{2}}

0 = {ln (x)}^{\frac{1}{2}} ({ln (x)}^{\frac{1}{2}} - 2)

1. Fall:

0 = {ln (x)}^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x = 1

2. Fall:

0 \neq {ln (x)}^{\frac{1}{2}}

\Rightarrow

0 = {ln (x)}^{\frac{1}{2}} - 2

2 = {ln (x)}^{\frac{1}{2}}

4 = ln (x)

x = e^{4}

Der Rest folgt...

Karma aktiv_icon

16:35 Uhr, 04.07.2009

Hallo, ich vrsuch's mal.

a) Für welche Zahlen ist die Wurzel aus ihrem natürlichen Logarithmus gleich dem natürlichen Logarithmus ihrer Wurzel?

Sei x diese Zahl.

Nach Aufgabenstellung folgt:

Für x ist die Wurzel aus ihrem natürlichen Logarithmus gleich dem natürlichen Logarithmus ihrer Wurzel,
also:

\sqrt{\ln x} = \ln \sqrt{x}

d.h.

\sqrt{\ln x} = 0.5 * \ln x

also( für

\sqrt{\ln x} \neq 0

)

2 = \frac{\ln x}{\sqrt{\ln x}}

und

2 = \sqrt{\ln x}

dann

4 = \ln x

bzw.

\underline{x = e^{4}}

Probe:

\sqrt{e^{4}} = e^{2}

\ln e^{2} = 2 * \ln e = 2 * 1 = \underline{2}

und

\ln e^{4} = 4 * \ln e = 4 * 1 = 4

\sqrt{4} = \underline{2}

Schönen Gruß
Karsten

Astor aktiv_icon

16:43 Uhr, 04.07.2009

Für welche x ist der Abstand von

\sqrt{l n (x)}

von

l n (\sqrt{x})

am größten?

Betrachte

d (x) = \sqrt{l n (x)} - l n (\sqrt{x})

und suche nach Maximum von d(x).
Also d(x)ableiten und Null setzen usw.

Ich habe als Ergebnis:

x = e

Gruß Astor

HP7289 aktiv_icon

16:46 Uhr, 04.07.2009

b)

f : [1, e^{4}] \to ℝ

f (x) = \sqrt{ln (x)} - ln (\sqrt{x})

f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{ln (x)}} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}

f' (x) = \frac{1}{2 x \sqrt{ln (x)}} - \frac{1}{2 x}

Setze

f' (x) = 0

\frac{1}{2 x \sqrt{ln (x)}} - \frac{1}{2 x} = 0

\frac{1}{\sqrt{ln (x)}} - 1 = 0

\frac{1}{\sqrt{ln (x)}} = 1

\sqrt{ln (x)} = 1

ln (x) = 1

x = e

HP7289 aktiv_icon

17:32 Uhr, 04.07.2009

c)

y = ln (x) - {(ln (\sqrt{x}))}^{2}

Zuerst die Nullstellen:

ln (x) - {(ln (\sqrt{x}))}^{2} = 0

ln (x) - {(\frac{1}{2} ln (x))}^{2} = 0

ln (x) - \frac{1}{4} {ln (x)}^{2} = 0

\frac{1}{4} {ln (x)}^{2} - ln (x) = 0

{ln (x)}^{2} - 4 ln (x) = 0

ln (x) \cdot (ln (x) - 4) = 0

1. Fall:

ln (x) = 0 \Rightarrow x = 1

2. Fall:

ln (x) \neq 0

\Rightarrow

ln (x) - 4 = 0

x = e^{4}

Jetzt können wir die Fläche bestimmen.

\int_{1}^{e^{4}} ln (x) - {(ln (\sqrt{x}))}^{2} d x

= \int_{1}^{e^{4}} ln (x) - \frac{1}{4} {ln (x)}^{2} d x

Subst.:

u = ln (x), e^{u} d u = d x

= \int_{0}^{4} (u - \frac{1}{4} u^{2}) \cdot e^{u} d u

= {[(u - \frac{1}{4} u^{2}) \cdot e^{u}]}_{0}^{4} - \int_{0}^{4} (1 - \frac{1}{2} u) \cdot e^{u} d u

= ((4 - \frac{1}{4} \cdot 16) \cdot e^{4}) - ({[(1 - \frac{1}{2} u) \cdot e^{u}]}_{0}^{4} - \int_{0}^{4} (- \frac{1}{2}) \cdot e^{u} d u)

= - (((1 - \frac{1}{2} \cdot 4) \cdot e^{4} - (1 - \frac{1}{2} \cdot 0) \cdot e^{0}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^{u} d u)

= - (- e^{4} - 1 + \frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^{u} d u)

= e^{4} + 1 - \frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^{u} d u

= e^{4} + 1 - \frac{1}{2} {[e^{u}]}_{0}^{4}

= e^{4} + 1 - \frac{1}{2} (e^{4} - e^{0})

= e^{4} + 1 - \frac{1}{2} e^{4} + \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} e^{4} + \frac{3}{2}

-SpiegelKind- aktiv_icon

15:46 Uhr, 12.07.2009

Danke!

Aber wie soll das ab der Substitution bei der Flächenberechnung weiter gehen?

Das versteh ich nämlich immer nicht ganz...

HP7289 aktiv_icon

18:28 Uhr, 12.07.2009

Das ist mehrmalige Anwendung der partiellen Integration.

-SpiegelKind- aktiv_icon

18:43 Uhr, 12.07.2009

Gibt es dafür auch eine einfachere Lösungsmöglichkeit?

Denn die partiellen Integration wurde bei uns noch nicht durchgenommen.

HP7289 aktiv_icon

19:27 Uhr, 12.07.2009

Nicht, dass ich wüsste. Diese Integration sieht für mich auch nicht nach einer Schulaufgabe aus, wenn die Stammfunktion nicht vorgegeben ist.

-SpiegelKind- aktiv_icon

19:43 Uhr, 12.07.2009

Die Aufgabe ist Teil eines Referats, dass ich zu halten habe.

Doch mit dem, was wir bisher durchgenommen haben,komme ich partout nicht weiter.

HP7289 aktiv_icon

19:45 Uhr, 12.07.2009

Dann solltest du am besten deinen Lehrer darauf ansprechen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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