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schwere Wurzelgleichung

Schüler

Tags: Kann mir jemand die Aufgabe lösen? und erklären

else2000 aktiv_icon

09:55 Uhr, 17.10.2018

Ich kann diese Aufgabe einfach nicht lösen:

2 \sqrt{12 x + 21} + 5 = 5 \sqrt{6 x - 5} - 2

Kann mir jemand die Lösungsschritte sagen? Dies ist die einzige Aufgabe die mir zu schaffen macht, alle anderen Varianten der Wurzelgleichungen konnte ich lösen.

Danke vielmals

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

10:06 Uhr, 17.10.2018

Na ja, etwas mehr Schreibarbeit.
Ausgangsgleichung etwas reduzieren
Quadrieren
reduzieren
Nochmals quadrieren
ausrechnen
Lösung

x = 5

else2000 aktiv_icon

11:24 Uhr, 17.10.2018

Ich habe die Aufgabe so gelöst und komme nicht auf die Lösung 5

2 \sqrt{12 x + 21} + 5 = 5 \sqrt{6 x - 5} - 2 ... ... ... ... ... . : 2

\sqrt{12 x + 21} + 2.5 = 2.5 \sqrt{6 x - 5} - 1 ... ... ... ... ... {()}^{2}

12 x + 21 = {(2.5 \sqrt{6 x - 5} - 3.5)}^{2}

12 x + 21 = {(2.5 \sqrt{6 x - 5})}^{2} \cdot 2 \cdot (2.5 \sqrt{6 x - 5}) \cdot - 3.5 + 12.25

12 x 21 = 37.5 x - 19 \cdot 7 \cdot (2.5 \sqrt{6 x - 5})

- 25.5 x + 40 = 7 \cdot (2.5 \sqrt{6 x - 5}) ... ... ... ... ... ... . . {()}^{2}

{(- 25.5 x + 40)}^{2} = 49 \cdot 6.25 \cdot 6 x - 5

650.25 x^{2} + 2040 + 1600 = 1837.5 x - 5

650.25 x^{2} + 3640 = 1837.5 x - 5

650.25 x^{2} + 3645 = 1837.5 x

650.25 x^{2} - 1837.5 x + 3645 = 0

dann mit abc-Formel gelöst. komme ich auf

1.41

Irgendwo mache ich einen Fehler, was aber nicht wo...

Respon

11:37 Uhr, 17.10.2018

Möglicher Weg:

2 \cdot \sqrt{12 \cdot x + 21} = 5 \cdot \sqrt{6 \cdot x - 5} - 7

| quadrieren

4 \cdot (12 \cdot x + 21) = 25 \cdot (6 \cdot x - 5) - 70 \cdot \sqrt{6 \cdot x - 5} + 49

| reduzieren

102 \cdot x - 160 = 70 \cdot \sqrt{6 \cdot x - 5}

| nochmals quadrieren

. .

maxsymca

12:01 Uhr, 17.10.2018

Wenn Du Dich selber kontrollieren willst dann empfehle ich Dir

www.geogebra.org/cas

1: 2 sqrt(12x+21)+5=5 sqrt(6x−5)−2
2: $1+2
>

2 \sqrt{3} \sqrt{4 x + 7} + 7 = 5 \sqrt{6 x - 5}

3: $2^2
>

28 \sqrt{3} \sqrt{4 x + 7} + 48 x + 133 = 150 x - 125

4:($3 - 48x - 133) / 28 / sqrt(3)
>

\sqrt{4 x + 7} = \frac{17}{14} \sqrt{3} x - \frac{43}{14} \sqrt{3}

5: $4^2 - 4x - 7
>

0 = \frac{867}{196} x^{2} - \frac{2585}{98} x + \frac{4175}{196}

$n ist eine Referenz auf Zeile n. In Zeile 4 hab ich z.B. mit $3-48x-133 angefangen, dann das Ergebnis (die Anzeigen hab ich ausgelassen) betrachtet und weiter gemacht...

6: L:=Löse($5)
>

L := {x = \frac{835}{867}, x = 5}

Probe:
7: Ersetze($1,L(1))
>

\frac{279}{17} = \frac{41}{17}

8: Ersetze($1,L(2))
>

23 = 23

oder ganz kurz
9: Löse($1^2)
>

{x = 5}

BTW: Dein erster Schritt ist schon nicht zielführend, die -2 muss weg, damit die Wurzel allein da steht und beim Quadrieren verschwindet. Du hast ein Problem mit Binomen (a+sqrt(b))^2 = a^2 + 2a sqrt(b) + b...

Roman-22

13:32 Uhr, 17.10.2018

Die Kritik von maxsymca, dass dein erster Schritt nicht zielführend sei, ist nicht ganz berechtigt, da du dann vor dem Quadrieren ohnehin die Wurzel links isoliert hast, indem du

2,5

beidseits subtrahierst.
Auch seine Kritik, du hättest ein "Problem mit Binomen", kann ich nicht teilen. Ich nehme an, dass er sich deine Rechnung nicht wirklich gründlich genug angesehen hat.

Allerdings finde auch ich deinen Ansatz nicht sonderlich geschickt.
Ich würde auch lieber bei ganzzahligen Werten bleiben und gleich beidseits zB 5 subtrahieren und dann quadrieren, so wie von Respon vorgeschlagen.

Nun aber zu deiner Rechnung und den Fehlern darin:

Leider wimmelt es in deiner Rechnung an Tipp- und Eingabefehlern, die bei deinem händischen Aufschrieb sicher nicht vorhanden sind. Also Mal-Punkte, die eigentlich ein "+" sein wollen, vergessenes "+", fehlende Klammer um

- 3,5,

etc.

Die 6. Zeile deiner Rechnung ist aber trotzdem noch vollkommen richtig und dein erster Fehler besteht darin, dass du in der Zeile danach, also nach dem Quadrieren, die Klammer um

6 x - 5

nicht geschrieben und in der nachfolgenden Rechnung auch nicht berücksichtigt hast.
Gleich danach machst du den zweiten Fehler, indem du bei der Berechnung von

{(- 25.5 x + 40)}^{2}

in der nächsten Zeile

+ 2040

anstelle von

- 2040 x

schreibst und damit weiter rechnest. Also falsches Vorzeichen und das

x

ging verloren.

Bei richtiger Rechnung solltest du auf

650,25 x^{2} - 3877,5 x + 3121,25 = 0

kommen und diese Gleichung hat die Lösungen

x_{1} = 5

und

x_{2} = \frac{835}{867} \approx 0,963

.
Beide sind in der Definitionsmenge (die dir noch fehlt) enthalten, aber weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist und dabei daher Scheinlösungen auftreten können, musst du für beide Werte noch die Probe durchführen und danach bleibt nur mehr 5 als Lösung übrig.

Trotzdem würde ich dir nochmals dringend empfehlen, bei ganzzahligen Werten zu bleiben und so zu beginnen, wie von Respon vorgeschlagen.

else2000 aktiv_icon

17:48 Uhr, 17.10.2018

Danke, habe es durchgerechnet. Komme jetzt auch auf 5. Besten Dank für deine Hilfe.

else2000 aktiv_icon

17:49 Uhr, 17.10.2018

Danke für deine Hilfe. Jetzt weiss ich was ich falsch gemacht habe.

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