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Tags: Fixpunktsatz

 
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mathema1222

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10:49 Uhr, 15.08.2019

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wenn ich diese Funktion auf Selbstabbildung untersuche:

φ(x)=0.5⋅cos(x)+0.1⋅e-x im Intervall [0,π2]=[a,b]


dann gibt es diese Formel a≤minφ(x)≤maxφ(x)≤b


0≤minφ(x)≤maxφ(x)≤π2


Was setzt man für minφ(x),maxφ(x) ein: Setzt man nur a bzw. nur b in die Formel ein oder setzt man a und b in Formel so ein, das der maximale und minimale Wert herauskommt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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HAL9000

HAL9000

11:26 Uhr, 15.08.2019

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"Dann gibt es diese Formel" soll heißen: Du musst die Gültigkeit dieser Formel für dein konkretes φ nachweisen, damit dieses φ auch wirklich eine Selbstabbildung, d.h. φ:[a,b]→[a,b] ist.

Es gilt daher Minimum/Maximum so abzuschätzen, dass das Ziel hier erreicht wird. Eine exakte Bestimmung von Minimum/Maximum in angegebenen Intervall (z.B. mit Mitteln der Kurvendiskussion, wie du es in der Schule gelernt hast) dürfte hier einigermaßen schwierig sein, ist aber auch gar nicht nötig.


Beispiel Minimum: Im ersten Quadranten [0,π2] ist cos(x)≥0, und die Exponentialfunktion e-x ist sowieso stets positiv, daher ist minφ(x)≥0.5⋅0+0.1⋅0=0 kein Problem.

Beim Maximum kannst du nutzen, dass der Kosinus durch 1 nach oben begrenzt ist. Und bei der Exponentialfunktion sollte dir dazu in diesem Intervall auch was einfallen...
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