Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » sigma-Algebra über 2N + Dirac-Maß

sigma-Algebra über 2N + Dirac-Maß

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Maßtheorie

Tags: Funktion, Maßtheorie

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
sabsi

sabsi

09:00 Uhr, 02.11.2023

Antworten
huhu,

Habe folgende Ausgangslage:
Sei S:=ℕ und L=P(2ℕ)


1) Charakterisieren sie alle Elemente von A=σ(L)

So erstmal dazu: Da L oben ja schon als Potenzmenge definiert ist beinhaltet L schon alle Teilmengen von 2ℕ somit würde ich sagen A=σ(L)=P(2ℕ)
Also haben Alle Elemente von A die Form {a1,a2,a3,...∣ai∈2ℕ}

2) Es sei nun μ=δ2023, das Direac-Maß im Punkt 2023. Entscheiden Sie, ob der Maßraum (S,A,μ) nicht-messbare Nullmengen enthält.

3) Es sei nun μ=δ2023, das Direac-Maß im Punkt 2024. Entscheiden Sie, ob der Maßraum (S,A,μ) nicht-messbare Nullmengen enthält.

Also bei 2) und 3) hab ich folgende Fragen:
Wenn etwas M Nullmenge ist dann gilt doch μ(M)=0 und somit messbar... wie geht es dann dass eine Nullmenge nicht messbar ist.


Direac-Maß ist ja bekanntlich 1 in einem Punkt und sonst überall 0

in unserem Beispiel ist dieser Punkt wo δ=1 halt einmal in der Sigma-Algebra und einmal nicht. Aber um hier ne Antwort treffen zu können bräuchte ich bitte Hilfe in der Verständnis was eine nicht-messbare Nullmenge ist.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
HAL9000

HAL9000

10:22 Uhr, 02.11.2023

Antworten
Ich hab das so verstanden, dass σ(L) nicht die Sigma-Algebra über Grundmenge 2ℕ, sondern die über Grundmenge S=ℕ bedeuten soll.

In diesem Fall ist deine Antwort 1) falsch - nur ein Beispiel: Es muss dann U:=ℕ\(2ℕ) (das ist die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen) selbstverständlich AUCH in A liegen. Denk also nochmal über deine Antwort nach.


Zwei Verschreiber in deinem Beitrag (z.T. LaTeX wegen):

In 2) meinst du μ=δ2023, und in 3) sicher μ=δ2024.

Und für die Fragen 2) und 3) nochmal den Begriff "Nullmenge" rekapitulieren:

N heißt μ-Nullmenge, wenn es ein B∈A gibt mit N⊆B und μ(B)=0. D.h., es wird in dieser allgemeinen Definition nicht gefordert, dass die Nullmenge zwingend in der Sigma-Algebra liegt, sondern nur dass sie Teilmenge einer Menge der Sigma-Algebra ist, deren Maß Null ist - das ist genau der Unterschied, um den es dann in den Aufgaben 2) und 3) geht.
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.