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sin/cos Extremwerte

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwerte berechnen, sin

Sonnenschein212

16:21 Uhr, 06.11.2011

Hallo,
Frage:

Gegeben ist die Funktion

f

mit

f (x) = sin (2 \sqrt{x} + 1) + 1

a)

Berechnen sie die Ableitung von

f (x)

und zeigen Sie, dass die Ableitung an der Stelle 0 nicht existiert.

b)Weisen Sie nach, dass

f

unendlich viele Extremwerte hat und diese 0 und 2 sind.

c)

Berechnen Sie die Extremstellen für

0 \leq x \leq 4

exakt.

Habe mir die Funktion von meinem Taschenrechner auch schon zeichnen lassen.
Bei Aufgabe

a)

habe ich

(cos 2 \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}})

als Ableitung heraus (hoffe das ist richtig). Wie belegt man den jetzt, dass es keine Ableitung an der Stelle 0 gibt?

Bei

b)

und

c)

komme ich im Moment so gar nicht weiter. Wäre für jede Hilfe dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DmitriJakov aktiv_icon

16:26 Uhr, 06.11.2011

Hast Du bei der Aufgabe ein paar Angaben verschluckt? Insbesondere die pi? Schreibt man hier übrigens "pi"

Sonnenschein212

16:30 Uhr, 06.11.2011

Ich habe die Aufgabenstellung wie im Buch abgeschrieben, außer das man den Graphen zeichnen soll in den Fenstereinstellungen

0 \leq x \leq 1

und

0 \leq x \leq 100

DmitriJakov aktiv_icon

16:39 Uhr, 06.11.2011

Die erste Ableitung hat es bei Dir zerlegt, weil Du die Klammern nicht richtig gesetzt hast:

f' (x) = \frac{cos (2 \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}}

Was ist

f' (x)

an der Stelle

x = 0

?

Aufgabe

b :

sin (u (x))

ist eine periodische Funktion. Der Sinus pendelt zwischen

- 1

und

+ 1

. Was sind also die Extremwerte von

f (x) = sin (u (x)) + 1

?

Aufgabe

c :

Der Sinus erreicht seinen oberen Extrempunkt, wenn sein Argument den Wert

\frac{π}{2}

erreicht und seinen unteren Extremwert, wenn das Argument den Wert

\frac{3}{2} π

erreicht. Das Argument der Sinusfunktion ist hier:

2 \cdot \sqrt{x} + 1

Mathe-Steve aktiv_icon

16:41 Uhr, 06.11.2011

Hallo,

die Ableitung ist $f^{'} (x) = \frac{\cos (2 \cdot \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}}$ und weil der Nenner für x=0 ebenfalls 0 werden würde, existiert f'(0) nicht.

Gruß

Stephan

Sonnenschein212

16:45 Uhr, 06.11.2011

Sind die Extremwerte dann wegen dem Pendeln des Sinus

(- 1

und

1) 0

und 2? Das hört sich ja schonmal sehr logisch an. Danke. Versuche mich jetzt an der nächsten Teilaufgabe.

Sonnenschein212

16:49 Uhr, 06.11.2011

Muss ich bei der Sinusfunktion bei

c)

dann 0 und 4 einsetzten oder was muss ich nun machen? Bin gerade ein bisschen verwirrt, weil Sinusrechnung bei mir schon sehr lange her ist, sorry

Mathe-Steve aktiv_icon

16:53 Uhr, 06.11.2011

Extremstellen genügen der Gleichung f'(x)=0.

Stelle diese Gleichung nach x um.

Beachte dabei, dass cos z = 0 gerade dann gilt, wenn z ein ungerades Vielfaches von pi/2 ist, also pi/2, 3pi/2, ...

Sonnenschein212

17:01 Uhr, 06.11.2011

Wie stellt man die Gleichung nach

x

um? Muss man dafür dann

cos

ersetzen?

Mathe-Steve aktiv_icon

17:11 Uhr, 06.11.2011

$\frac{\cos (2 \cdot \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}} = 0 \Rightarrow \cos (2 \cdot \sqrt{x} + 1) = 0$

Erste Möglichkeit: $2 \sqrt{x} + 1 = \frac{π}{2} \Rightarrow 2 \sqrt{x} = \frac{π}{2} - 1 \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{\frac{π}{2} - 1}{2} = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \Rightarrow x = (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})^{2} \approx 0, 08$

Zweite M.: $2 \sqrt{x} + 1 = \frac{3 π}{2} \Rightarrow 2 \sqrt{x} = \frac{3 π}{2} - 1 \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{\frac{3 π}{2} - 1}{2} = \frac{3 π}{4} - \frac{1}{2} \Rightarrow x = (\frac{3 π}{4} - \frac{1}{2})^{2} \approx 3, 45$

Weitere Lösungen existieren, aber das Intervall [0;4] ist erledigt.

Sonnenschein212

17:20 Uhr, 06.11.2011

Vielen vielen Dank für die ausführliche Erklärung.Habe ich soweit auch verstanden bis auf die hoch 2 im letzten Schritt. Wie kommt man darauf?

Sonnenschein212

17:25 Uhr, 06.11.2011

Sorry, habe übersehen, das die Wurzel weggenommen wurde. Jetzt versteh ich das mit der hoch 2

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