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| sin(x) | Differenzierbarkeit beweisen/widerlegen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Stetigkeit

Tags: Differentiation, differenzierbar, Differenzierbarkeit, Funktion, Stetigkeit

Hinata aktiv_icon

11:15 Uhr, 29.06.2022

Guten Morgen zusammen,

ich soll beweisen oder widerlegen ob

f (x) = | sin (x) |

differenzierbar ist. Nun würde ich einfach behaupten nein, da die Betragsfunktion nicht differenzierbar in

x = 0

ist. Könnte ich das so beweisen:

f (x)

wäre genau dann differenzierbar in

0,

wenn dieser Grenzwert von

h

gegen 0 hiervon existieren würde:

\frac{| sin (0 + h) | - | sin (0) |}{h} = | \frac{sin (h)}{h} |

Ich betrachte erstmal den Grenzwert

h

gegen 0 für

h > 0

und das ist dann

\frac{sin (h)}{h} = cos (0) = 1

Nun betrachte ich den Grenzwert für

h < 0

also

- cos (h) = - 1

Da dieser Grenzwerte nicht übereinstimmen kann die Funktion in

x = 0

nicht differenzierbar sein.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Nick76 aktiv_icon

13:51 Uhr, 29.06.2022

Der Beweis ist richtig, beachte allerdings, dass gilt:

lim_{h \to 0} \frac{| sin (0 + h) | - | sin (0) |}{h} = lim_{h \to 0} \frac{| sin (h) |}{h}

Das

h

im Nenner steht ohne Betragszeichen und zwar aus gutem Grund, denn die Ableitung existiert nur, wenn der Grenzwert von rechts und links betrachtet derselbe ist (was in diesem Beispiel nicht der Fall ist, wie Du selbst schon herausgefunden hast). Steht

h

im Nenner als Betrag, bezeichnet das lediglich den rechtsseitigen Grenzwert.

rundblick aktiv_icon

13:57 Uhr, 29.06.2022

.
"ich soll beweisen oder widerlegen ob

f (x) = | sin (x) |

differenzierbar ist."

fragt sich nur wo ?
es gibt ja beliebig viele Intervalle in denen

f (x) = | sin (x) |

überall diffbar ist

(z . B

: f

ist diffbar an jeder Stelle des Intevalls

0 < x < π)

und es gibt beliebig viele Stellen im Definitionsbereich von

f,

an denen

f

nicht diffbar ist.

also: wie ist die genaue Fragestellung?

.

Hinata aktiv_icon

14:52 Uhr, 29.06.2022

rundblick, auf ganz

\frac{R}{o}

ist

| sin (x) |

offensichtlich differenzierbar als Verkettung differenzierbarer Funktionen, deswegen betrachte ich doch bereits in meinem Ansatz nur

x = 0

. Natürlich würde ich das in der Lösung noch dazuschreiben, aber ich dachte hier wäre jedem klar, dass ich nur

x = 0

betrachte.
Danke Nick76, das war ein Flüchtigkeitsfehler. Der Betrag soll da natürlich nicht stehen. Dann ist alles klar

rundblick aktiv_icon

17:12 Uhr, 29.06.2022

.

"auf ganz

ℝ \ 0 \to

ist

f (x) = | sin (x) |

offensichtlich differenzierbar"

... .

\leftarrow

NEIN ..

!!

"deswegen betrachte ich doch bereits in meinem Ansatz nur x=0."

echt schade, dass ich dich - trotz meiner Anmerkung

\to

" und es gibt beliebig viele Stellen im Definitionsbereich von

f,

an denen

f

nicht diffbar ist"
nicht dazu bringen konnte , nachzudenken.

vielleicht nutzt dieser Tipp: lass dir

\to f (x) = | sin (x) |

mal aufzeichnen

. .

. (was passiert bei

x_{k} = k \cdot π ...

. mit

k \in ℤ

? )

" aber ich dachte hier wäre jedem klar, dass ich nur

x = 0

betrachte. "
schon klar dass du leider nur

x = 0

betrachtest - eben!

\to

aber warum nicht zB

x = 3 \cdot π

? usw..-
deshalb nochmal

\to

"also: wie ist die genaue Fragestellung?"

. .

. alles klar?!?
- was denkst?

.

Hinata aktiv_icon

17:57 Uhr, 29.06.2022

Hast Recht, mein Fehler sorry. ich war grade irgendwie gedanklich bei der Betragsfunktion und habe die Periode der Sinusfunktion nicht beachtet. Die Funktion ist natulich an allen Nullstellen der Sinusfunktion nicht diff'bar. Sorry!

rundblick aktiv_icon

18:14 Uhr, 29.06.2022

.

"Hast Recht"

... ... ... ... . .

. ja .. :-) - aber damit ist diese Kleinigkeit noch nicht geklärt

\to

>also: wie ist die genaue Fragestellung?<

und nebenbei:
"habe die Periode der Sinusfunktion nicht beachtet"

\leftarrow

diesen Satzteil kannst du unbesorgt
ersatzlos streichen. Wesentlich sind hier - wie du dann selbst feststellst - die Nullstellen..
.

Hinata aktiv_icon

18:53 Uhr, 29.06.2022

Die genaue Aufgabenstellung war tatsächlich "ist

f

differenzierbar?", wobei

f

auf ganz

R

definiert ist. Ich habe nur vergessen den Definitionsbereich mit anzugeben. Daher ist die Frage jetzt auch klar, da ein Gegenbeispiel gereicht hat,

z . B

x = 0

.
Im Skript steht nämlich "f ist diff'bar"

\Leftrightarrow

"f ist in jedem Punkt seines Definitionsbereichs diff'bar"

Mathe45

08:15 Uhr, 30.06.2022

Alternative

. .

.
Man kann dieses Problem auch allgemein betrachten.
Sei

f : D \to ℝ

eine auf ganz

D

differenzierbare Funktion.
Betrachten

g (x) = | f (x) |

Dann gilt

\frac{d g (x)}{d x} = \frac{d | f (x) |}{d x} = f' (x) \cdot \frac{f (x)}{| f (x) |}

Sei

g (x) = | sin (x) |

\Rightarrow

g' (x) = cos (x) \cdot \frac{sin (x)}{| sin (x) |}

Am Bruch

\frac{sin (x)}{| sin (x) |}

läßt sich ablesen, an welchen ( unendlich vielen ) Stellen die Funktion nicht differenzierbar ist.

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