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sncf Metrik: Abstandsfunktion zeigen
Universität / Fachhochschule
Tags: Abstand, Metrik
 
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Sei ∈ ℝ^n ein fester Punkt. Für ∈ ℝ^n setze man: falls − und −p linear abhängig sind, sonst Zeigen Sie, dass eine Abstandsfunktion ist. Zeigen Sie außerdem, dass im Fall mit dem gewöhnlichen Abstand auf ℝ zusammenfällt. Hallo, Habe Probleme beim Lösen der Aufgabe. Wie zeige ich dass eine Abstandsfunktion ist? Ist mit die euklidische Norm gemeint? Wäre für jede Hilfe zum Lösen dankbar. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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"Wie zeige ich dass d eine Abstandsfunktion ist?" Nichtnegativ ist sie schon, also eigentlich musst Du nur die Dreiecksungleichung zeigen. Nutze dazu die Dreiecksungleichung der euklidischen Norm. "Ist mit ||v−w|| die euklidische Norm gemeint?" |
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Danke für deine Antwort. Im ersten Fall (falls − und −p linear abhängig sind) muss ich also die Dreiecksungleichung der euklidischen Norm zeigen. Im zweiten Fall(||v-p|| habe ich leider kein Plan wie ich da die Dreiecksungleichung und den Rest zeigen soll |
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Zu zeigen: . Also im Fall wenn alle drei und paarweise lin. unabhängig sind, . Das ist natürlich immer erfüllt, weil Norm nichtnegativ ist. Es bleien die Fälle, wo mindestens ein Paar linear abhängig ist. |
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Wie erkenne ich, dass die Norm nicht negativ ist? Falls linear abhängig: ||v−p||+||w−p| ||v−w||+||u−p||+||u−p|| Falls und linear abhängig 3. Fall:... Geht das so? |
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"Wie erkenne ich, dass die Norm nicht negativ ist?" Sie ist es immer per Definition. |
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"Falls v−p,u−p linear abhängig:" Das sieht komisch aus. Versuch noch mal. |
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Falls v−p,u−p linear abhängig: ||v−p||+||w−p| ||v−u||+||u−p||+||w−p||. So ? Hatte mich vertippt. |
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Ja, nur , nicht . Und es schadet nicht zu schreiben, warum das gilt (Dreiecksungleichung ). |
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Ja stimmt. Genügen diese 4 Fälle jetzt aus, um zu zeigen, dass es sich um eine Abstandsfunktion handelt? |
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Welche 4 Fälle? |
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Die 3 Fälle wo wo jeweils zwei Paare linear abhängig sind und einmal der Fall indem alle linear unabhängig sind. |
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Es können auch 3 Paare jeweils linear abhängig sein. Oder nur eins. |
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Bzw., wenn zwei Paare linear abhängig sind, so ist es automatisch das dritte Paar, somit gibt's den Fall "zwei Paare linear abhängig" gar nicht. |
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Ich stehe leider gerade auf dem Schlauch. Was muss ich jetzt bezüglich der Dreiecksungl. alles zeigen? |
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Den Fall "alle Paare paarweise linear unabhängig" hatten wir schon. Einen Fall von Typ "nur ein Paar linear abhängig" hatten wir auch, das war "Falls v−p,u−p linear abhängig". Es gibt noch zwei Fälle, wo nur ein Paar linear abhängig ist, die muss man auch aufschreiben. Und dann gibt's noch den Fall "alle Paare paarweise linear abhängig", den hatten wir nicht. |
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Ok das funktioniert alles analog. Damit hätte ich dann vollständig gezeigt, dass es sich um eine Abstandsfunktion handelt? |
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Man muss noch zeigen , aber das ist relativ trivial. |
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Ok. Danke für deine Geduld. |
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Noch eine letzte Frage: Wie zeig ich am besten zeigen für |
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Wenn , dann sind und linear abhängig, also ist es eine andere Formel. Und umgekehrt, wenn , so kann es nur andere Formel sein. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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