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spezieller isomorpher Raum zum R^2 gesucht

Lehrer

Tags: Bidualraum, bijektiv, Dualraum, Isomorphie, Vektorraum

NasenbaerHH aktiv_icon

15:00 Uhr, 16.06.2009

Hallo! Die lineare Algebra lehrt uns ja, dass der Dualraum des Dualraumes eines endlich dimensionalen Vektorraumes, isomorph zu Vektorraum ist. Kann mir jemand am Beispiel des

R^{2}

mal erklären, welche bijektive Zuordnung ich dort habe? Also

z . B

. nehme ich den Vektor

v = (3,5)

zu welchem Vektor aus

R^{2 ⋆ ⋆}

wird dieser Vektor

v

zugeordnet? Siehe auch meine (allgemeine) Frage zum Bidualraum.

Lieber Gruß,

Nasenbaer

Rentnerin

22:23 Uhr, 19.06.2009

Hallo Nasenbaer,

eine Isomorphie zwischen

R^{2}

und

R^{2} * *

lässt sich leicht konstruieren, da zu einer Basis

(\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}})

von

R^{2}

nur die lineare Abbildung

Λ

, die diese Basis auf die duale Basis

(v_{1} * = φ_{1}, v_{2} * = φ_{2})

überführt, genommen werden muss

Dann nimmst Du noch die lineare Abbildung

Σ

, die die Basis

(φ_{1}, φ_{2})

auf ihre duale Basis

(φ_{1} * = ψ_{1}, φ_{2} * = ψ_{2})

überführt, und die Verkettung beider ist ein Isomorphismus zwischen

R^{2}

und

R^{2} * *

.

Ist z.B.

\vec{v_{1}} = \vec{e_{1}}, \vec{v_{2}} = \vec{e_{2}}

(kanonische Basis) und

\vec{v} = v_{1} \cdot \vec{e_{1}} + v_{2} \cdot \vec{e_{2}}

ein beliebiger Vektor, dann gilt

Λ (\vec{v}) = v_{1} \cdot φ_{1} + v_{2} \cdot φ_{2}

und

Σ (Λ (\vec{v})) = v_{1} \cdot ψ_{1} + v_{2} \cdot ψ_{2}

.

Für beliebiges

φ = k_{1} \cdot φ_{1} + k_{2} \cdot φ_{2}

gilt

Σ (Λ (\vec{v})) (φ) = v_{1} \cdot k_{1} + v_{2} \cdot k_{2}

.

Der Isomorphismus

Ω = Σ \circ Λ

kann auch so ausgedrückt werden

Ω (\vec{v}) = Ω_{\vec{v}}

mit

Ω_{\vec{v}} (φ) = φ (\vec{v})

.

Dies sieht natürlich wesentlich eleganter aus.

Gruß Rentnerin

NasenbaerHH aktiv_icon

23:07 Uhr, 20.06.2009

Hi Rentnerin, vielen Dank für die Hilfe!! Du hast es sehr klar formuliert und ich habe auch alles bzw. die einzelnen Zeilen nachvollziehen können.

Es bleibt aber immer noch diese Ungewissheit, wieso diese zusammengesetzte Abbildung Omega ein Isomorphismus darstellt?!

Ich glaube, ich habe aber unter Isomorphie, etwas anderes verstanden als es vermutlich ist. Es scheint nicht so zu sein, wie ich dachte, dass bri vorgegebenen Element

v

aus dem Vektorraum das korrespondierende Element aus dem Bidualraum schon feststeht, sondern, dass ich zu JEDEM Vektor

v

willkürlich eine beliebige Funktion

φ

wählen kann, die in den Bidualraum abbildet: Du schreibst ja:

.. Für BELIEBIGES

φ = k 1 \cdot .

d . h

k 1

und

k 2

stehen keinesfalls fest, sondern hängen davon ab, was für ein

φ

ich (frei) wähle. Habe ich aber ein

φ

zu einem

v

gewählt, ist das Element

φ_{v}

aus dem Bidualraum festgelegt. Ich müsste also zu JEDEM Element aus dem Vektorraum mir EINE (andere) Abbildung Omega, also

φ (v)

ausdenken, die dann eindeutig in den Bidualraum abbildet?! Ich hätte somit irgendwie nicht EINE, sondern beliebig viele (unterschiedliche

k 1, k 2)

Abbildungen von dem Vektorraum in den Bidualraum?!

Ich stelle mir ja einen Isomorphismus zwischen 2 Räumen

A, B

so vor: Ich habe Elemente

x, y

aus A und

f (x)

sowie

f (y)

aus

B,

wobei die Zuordnung

f

bijektiv ist.
Hier scheine ich nicht EINE Abbildung

f,

sondern beliebig viele unterschiedliche Abbildungen

f_{i}

zu haben??!

Lieber Gruß Nasenbaer

Rentnerin

23:37 Uhr, 20.06.2009

Für vorgegebenes

\vec{v}

steht das korrespondierende Element

Ω_{\vec{v}}

sehr wohl fest.

Ω_{\vec{v}}

operiert ja auf allen Linearformen und muss daher für beliebiges

φ \in H o m (R^{2}, R)

festgelegt sein. Und wenn man ein beliebiges

φ = k_{1} \cdot φ_{1} + k_{2} \cdot φ_{2}

als Argument von

Ω_{\vec{v}}

einsetzt, dann erhält man mit der "eleganten" Zuordnungsvorschrift

Ω_{\vec{v}} (φ) = φ (\vec{v}) = (k_{1} \cdot φ_{1} + k_{2} \cdot φ_{2}) (v_{1} \cdot \vec{e_{1}} + v_{2} \cdot \vec{e_{2}}) = k_{1} \cdot φ_{1} (v_{1} \cdot \vec{e_{1}} + v_{2} \cdot \vec{e_{2}}) + k_{2} \cdot φ_{2} (v_{1} \cdot \vec{e_{1}} + v_{2} \cdot \vec{e_{2}}) = k_{1} \cdot v_{1} + k_{2} \cdot v_{2}

.

Das ist dassele Ergebnis wie bei der Konstruktion der Hintereinanderschaltung

Σ \circ Λ

.

Ein Isomorphismus zwischen endlichdimensionalen VR (derselben Dimension) liegt immer dann vor, wenn eine Basis des AusgangsVR auf eine Basis des ZielVR abgebildet wird. Ich habe hier zweimal eine Basis auf die zugehörige Dualbasis abgebildet und deshalb liegt automatisch ein Isomorphismus vor.

Für weitere Fragen stehe ich gerne zur Verfügung!

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