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stabile Population, Matrix

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: Aufagbe, Matrix, Oberstufe, Populationsmodell, stabile Population

MissMaddie aktiv_icon

18:17 Uhr, 29.05.2012

Hallo, ich hab eine Frage zu einer Matix-Aufgabe. und Zwar geht es um eine stabile Population.

Die Aufgabe dazu lautet: Zeigen Sie mithilfe von Matrix, dass es eine Schafpopulation gibt, die sich jährlich reproduziert und aus einem Gesamtbestand aus

76

Schafen besteht.

Die Matrix dazu lautet:

0,2

0,5

0,8

0,8

0,2

. 0
0.

0,3

0,2

(Die Punkte sollen Leerstellen sein)

Die Gruppen sind in Jungstiere

(J),

erwachsene Tiere

(E)

und Alttiere

(A)

aufgeteilt.

Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich nun auf einen Wert von

76

komme, bzw wie muss der Rechenweg aussehen, um anhand dieser Werte eine stabile Population zu schaffen?
Danke schonmal, Maddie

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

anonymous

21:34 Uhr, 29.05.2012

Im Prinzip soll gezeigt werden, dass eine Lösung

(J, E, A)

existiert, für welche die Bedingungen erfüllt sind, dass

. .

. .

. die Population stabil bleibt.

. .

. es insgesamt immer

76

Schafe sind.

Nun nach einem Jahr ergibt sich für die neue Population:

(\begin{matrix} J_{1} \\ E_{1} \\ A_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,2 & 0,5 & 0,8 \\ 0,8 & 0,2 & 0 \\ 0 & 0,3 & 0,2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} J_{0} \\ E_{0} \\ A_{0} \end{matrix})

Nun soll die Population stabil bleiben, daher muss gelten:

(\begin{matrix} J_{1} \\ E_{1} \\ A_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} J_{0} \\ E_{0} \\ A_{0} \end{matrix})

Also ergibt sich:

(\begin{matrix} J_{0} \\ E_{0} \\ A_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,2 & 0,5 & 0,8 \\ 0,8 & 0,2 & 0 \\ 0 & 0,3 & 0,2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} J_{0} \\ E_{0} \\ A_{0} \end{matrix})

Dies führt zu einem Gleichungssystem, welches man evtl. besser erkennt, wenn man noch ein wenig umformt.

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} J_{0} \\ E_{0} \\ A_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,2 & 0,5 & 0,8 \\ 0,8 & 0,2 & 0 \\ 0 & 0,3 & 0,2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} J_{0} \\ E_{0} \\ A_{0} \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} J_{0} \\ E_{0} \\ A_{0} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0,2 & 0,5 & 0,8 \\ 0,8 & 0,2 & 0 \\ 0 & 0,3 & 0,2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} J_{0} \\ E_{0} \\ A_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

[(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0,2 & 0,5 & 0,8 \\ 0,8 & 0,2 & 0 \\ 0 & 0,3 & 0,2 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} J_{0} \\ E_{0} \\ A_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0,8 & - 0,5 & - 0,8 \\ - 0,8 & 0,8 & 0 \\ 0 & - 0,3 & 0,8 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} J_{0} \\ E_{0} \\ A_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Das lässt sich nun als ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten

(J_{0}, E_{0}

und

A_{0})

interpretieren.

Im weiteren Verlauf wird man feststellen, dass dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Allerdings hat man laut Angabe noch die Bedingung, dass es insgesamt

76

Schafe sind. Damit erhält man eine weitere Gleichung:

J_{0} + E_{0} + A_{0} = 76

Nun kann man das lineare Gleichungssystem so erweitern, dass es nur noch eine einzige Lösung besitzt, welche auch gesucht wird.

(\begin{matrix} 0,8 & - 0,5 & - 0,8 \\ - 0,8 & 0,8 & 0 \\ 0 & - 0,3 & 0,8 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} J_{0} \\ E_{0} \\ A_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 76 \end{matrix})

Nun muss man nur noch zeigen, dass dieses Gleichungssystem eine Lösung besitzt.

MissMaddie aktiv_icon

15:35 Uhr, 31.05.2012

viel dank für die antwort, sie hat mir sehr geholfen!
Liebe Grüße, Maddie

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