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stammfinktion von 5^x

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

sandra14 aktiv_icon

19:11 Uhr, 07.12.2015

die stammfunktion von

5^{x}

ist

\frac{1}{ln 5} \cdot 5^{x}

warum ist das so? könnte mir jemand einen bitte lösungsweg angeben?

ich verstehe vor allem nicht wie man auf

\frac{1}{ln 5}

kommt.

mein ansatz ist

(\frac{1}{x}) \cdot 5^{x - 1}

aber ist das nicht eher die ableitung? ich suche aber die stammfunktion.

5^{x - 1}

kann ich umschreiben zu

\frac{5^{x}}{5}

. aber wie komme ich darauf, dass

\frac{1}{x}

integriert

\frac{1}{ln}

ist?

vielen dank schonmal :-)

Eva88 aktiv_icon

19:14 Uhr, 07.12.2015

Dann bilde doch mal die Ableitung mit der Produktregel.

sandra14 aktiv_icon

19:18 Uhr, 07.12.2015

ich habe oben etwas ergänzt. ist der ansatz richtig? ..über die ableitung

Respon

19:26 Uhr, 07.12.2015

Sicher ist die das bekannt:

\int e^{a \cdot x} d x = \frac{e^{a \cdot x}}{a} + C

5^{x} = e^{ln (5^{x})} = e^{x \cdot ln (5)}

. .

sandra14 aktiv_icon

19:30 Uhr, 07.12.2015

damit kann ich leider nichts anfangen. könntest du das bitte erwas genauer erklären?

Respon

19:32 Uhr, 07.12.2015

\int e^{a \cdot x} d x = \frac{e^{a \cdot x}}{a} + C

Das dürfte ja wohl klar sein.

Eva88 aktiv_icon

19:33 Uhr, 07.12.2015

Die Ableitung von

5^{x}

ist

5^{x} \cdot ln (5)

Wenn du die Stammfunktion

\frac{1}{ln (5)} \cdot 5^{x}

ableitest kriegst du wieder

5^{x}

sandra14 aktiv_icon

19:35 Uhr, 07.12.2015

tut mir leid, hier scheitert es schon bei mir

: (

Respon

19:37 Uhr, 07.12.2015

Wo und wie scheitert es ?

sandra14 aktiv_icon

19:37 Uhr, 07.12.2015

@ eva88 die stammfunktion ist

\frac{5^{x}}{ln (5)}

habe es in verschiedene onlinerechner eingegeben und umgekehrt

sandra14 aktiv_icon

19:40 Uhr, 07.12.2015

ich müsste ja

\frac{e^{a \cdot x}}{a}

ableiten um auf

e^{a \cdot x}

zu kommen oder? aber wie komme ich zu

e^{a \cdot x}

Respon

19:44 Uhr, 07.12.2015

Also

\int e^{a \cdot x} d x = \frac{e^{a \cdot x}}{a} + C

kann man also als "Grundintegral" als bekannt voraussetzen.

Und jetzt musst du nur noch

5^{x}

so umformen, dass du

e^{(...)}

erhältst.

sandra14 aktiv_icon

19:46 Uhr, 07.12.2015

kannst du mir das bitte in kleineren schritten erklären wie ich auf

\frac{1}{ln 5}

komme?

sandra14 aktiv_icon

19:48 Uhr, 07.12.2015

e^{x \cdot ln 5}

oder?

Respon

19:50 Uhr, 07.12.2015

5^{x} = e^{ln (5^{x})} = e^{x \cdot ln (5)}

Und jetzt wende das bekannte Grundintegral an.

sandra14 aktiv_icon

19:51 Uhr, 07.12.2015

ok, das ist

ln 5 \cdot 5^{x}

aber wie geht das jetzt weiter?

Respon

19:53 Uhr, 07.12.2015

Integral !

\int 5^{x} d x = \int e^{x \cdot ln (5)} d x = . .

sandra14 aktiv_icon

19:56 Uhr, 07.12.2015

sorry, es wäre schön wenn du mir da etwas mehr helfen könntest! ich komme da leider nicht weiter.

Respon

20:00 Uhr, 07.12.2015

Wir sind schon fertig. Wir wenden einfach das bekannte Grundintegral an.

5^{x} = e^{x \cdot ln (5)}

\int 5^{x} d x = \int e^{x \cdot ln (5)} d x = \frac{e^{x \cdot ln (5)}}{ln (5)} = \frac{5^{x}}{ln (5)} (+ C)

sandra14 aktiv_icon

20:05 Uhr, 07.12.2015

ok, das verstehe ich. aber warum ist das so das die stammfunktion

\frac{e^{x \cdot a}}{a}

ist?

Respon

20:07 Uhr, 07.12.2015

Bilde die Ableitung und du siehst es.

[\frac{e^{a \cdot x}}{a}]' = \frac{e^{a \cdot x} \cdot a}{a} = e^{a \cdot x}

sandra14 aktiv_icon

20:10 Uhr, 07.12.2015

ja, das verstehe ich auch alles. ich wüsste nur gerne wie der elegante weg ist, "ohne probieren" auf diese stammfunktion zu kommen. wie kommt man darauf einfach durch a zu teilen ohne die ableitung im hinterkopf zu haben?

Respon

20:14 Uhr, 07.12.2015

Wir haben nichts probiert, sondern bekannte Grundintegrale angewendet.

\int x^{3} d x = \frac{x^{4}}{4}

ist ja auch kein "probieren", sondern Anwendung der Regel.

sandra14 aktiv_icon

20:16 Uhr, 07.12.2015

stimmt, super! danke!!!!!!

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