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statik rechnerische lösung

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Statik

madcaddie123 aktiv_icon

15:11 Uhr, 28.02.2011

hab ein problem mit dieser aufgabe

Ein Dampfer wird von drei Schleppern gezogen. Schlepper 1 und 2 ziehen mit

F 1 = 6000 N

und

F 2 = 5000 N

Bestimmen sie zeichnerisch und rechnerisch die Kraft

F 3,

ihren winkel zur Fahrtrichtung und ihren Richtungssinn, mit der der Schlepper 3 ziehen muss, damit am Schiff eine Kraft FR von

10000 N

in Fahrtrichtung wirkt

zeichnerisch klappte alles
nur rechnerisch find ich keinen rechten ansatz

hab noch ne skizze angehängt damit es deutlicher wird...

btw hab keine passende kategorie gefunden...

: (

hoff mir kann einer helfen

Gerd30.1 aktiv_icon

16:37 Uhr, 28.02.2011

Irgendein Winkel muss schon noch gegeben sein, sonst wäre

z . B

F_{3} = - 1000 N

eine Lösung, wenn alle Kräfte in oder gegen Fahrtrichtung wirken!
mfG

madcaddie123 aktiv_icon

16:51 Uhr, 28.02.2011

nein mehr ist nicht gegeben

nur die kräfte

F 1 = 6000 N

mit 60°

F 2 = 5000 N

mit 45°
FR beträgt

10000 N

und 0°
und

F 3

ist gesucht und sein winkel auch

und alle kräfte wirklen in die fahrtrichtung

zeichnerisch hab ichs bereits gelöst
da komm ihc auf

F 3 = 3800 N

und 27°

wenns zeichnerisch gelingt sollte es doch rechnerisch auch möglich sein

Yokozuna aktiv_icon

19:48 Uhr, 28.02.2011

Hallo,

das ist einfach ein bischen Vektorrechnung. Die Kräfte sind ja Vektoren und in diesem Fall gilt:

\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{F_{R}}

Wenn man das nach

\vec{F_{3}}

auflöst, erhält man:

\vec{F_{3}} = \vec{F_{R}} - \vec{F_{1}} - \vec{F_{2}}

Da die Winkel von

\vec{F_{R}}

aus gemessen werden, drängt es sich förmlich auf, die Richtung von

\vec{F_{R}}

als x-Achse zu nehmen und die y-Achse soll senkrecht nach oben gehen. Jetzt müssen wir die Kräfte nur noch in ihre

x -

und y-Komponenten zerlegen.
Bei

\vec{F_{R}}

ist das einfach. Es ist:

\vec{F_{R}} = (\begin{matrix} 10000 \\ 0 \end{matrix})

Bei

\vec{F_{1}} (60

Grad Winkel) kann man sich

\vec{F_{1}}

als eine Seite eines gleichseitigen Dreiecks vorstellen. Die x-Komponente ist dann

\frac{1}{2} \cdot 6000 = 3000

und die y-Komponente (=Höhe in diesem gleichseitigen Dreick) ist

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 6000 = 3000 \cdot \sqrt{3}

. Damit ist

\vec{F_{1}} = (\begin{matrix} 3000 \\ 3000 \cdot \sqrt{3} \end{matrix})

Und

\vec{F_{2}}

schließlich ist die Hypothenuse in einem gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck. Die Katheden

(x -

und y-Komponenten) haben deshalb jeweils die Länge

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 5000 = 2500 \cdot \sqrt{2},

wobei die y-Komponente negativ ist, also ist

\vec{F_{2}} = (\begin{matrix} 2500 \cdot \sqrt{2} \\ - 2500 \cdot \sqrt{2} \end{matrix})

Eingesetzt in die obige Gleichung ergibt das:

\vec{F_{3}} = \vec{F_{R}} - \vec{F_{1}} - \vec{F_{2}} = (\begin{matrix} 10000 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3000 \\ 3000 \cdot \sqrt{3} \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2500 \cdot \sqrt{2} \\ - 2500 \cdot \sqrt{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10000 - 3000 - 2500 \cdot \sqrt{2} \\ 0 - 3000 \cdot \sqrt{3} - (- 2500 \cdot \sqrt{2}) \end{matrix}) \approx (\begin{matrix} 3464.5 \\ - 1660.6 \end{matrix})

Der Betrag von

\vec{F_{3}}

ist

| \vec{F_{3}} | = \sqrt{3464 . 5^{2} + {(- 1660.6)}^{2}} = 3841.9

.
Der Einheitsvektor in Richtung

\vec{F_{3}}

ist

\frac{1}{| \vec{F_{3}} |} \cdot \vec{F_{3}} = \frac{1}{3841.9} \cdot (\begin{matrix} 3464.5 \\ - 1660.6 \end{matrix})

und der Einheitsvektor in Richtung

\vec{F_{R}}

ist

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

.
Der

cos

des Winkels

α

zwischen diesen beiden Einheitsvektoren ist:

cos (α) = \frac{1}{3841.9} \cdot (\begin{matrix} 3464.5 \\ - 1660.6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = \frac{3464.5}{3841.9} = = 0.9018 \Rightarrow

α = 25.61

Grad und zwar von der Richtung

\vec{F_{R}}

aus nach unten, denn die y-Komponente von

\vec{F_{3}}

ist negativ. Die Einheit Newton habe ich der Einfachheit halber weggelassen.

Viele Grüße
Yokozuna

madcaddie123 aktiv_icon

20:32 Uhr, 28.02.2011

danke erstmal für die antwort

ich hatte genau den gleichen ansatz mit dem zurückrechnen...
aber an der umsetzung bin ich gescheitert.

habe aber noch ne frage

woher nimmst du den wert mit dem

\frac{1}{2} \cdot

?????

cos

60° nehm ich mal an

aber das

\sqrt{3}

und

\sqrt{2}

kann ich gar nicht nachvollziehen

und die sache mit dem einheitfaktor ist mir nicht geläufig...
gibt es zufällig auch eine andere lösungsmöglcihkeit?
den in meiner lerneinheit wurde das thema nicht angeschnitten.

möcht es nich tnur abschrieben und fertig sondern würds auchg ern verstehen
deswegen die viele fragen.

trotzdem schonmal vielen dank :-)

Yokozuna aktiv_icon

23:09 Uhr, 28.02.2011

Hallo,

ich habe mal ein kleines Bild beigefügt.

| \vec{F_{1}} |

entspricht dem

s

im linken gleichseitigen Dreieck. Die Höhe in diesem gleichseitigen Dreieck teilt die Grundlinie (Länge der Grundlinie ebenfalls

= s)

genau in der Mitte. Deshalb ist die x-Komponente von

\vec{F_{1}}

gleich

\frac{1}{2} \cdot s = \frac{1}{2} \cdot | \vec{F_{1}} |

. Die Höhe

h

(=y-Komponente) kann man mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen:

s^{2} = h^{2} + {(\frac{s}{2})}^{2} \Rightarrow h^{2} = s^{2} - {(\frac{s}{2})}^{2} = s^{2} - \frac{s^{2}}{4} = s^{2} \cdot (1 - \frac{1}{4}) = s^{2} \cdot \frac{3}{4} \Rightarrow h = \sqrt{s^{2} \cdot \frac{3}{4}} = s \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = | \vec{F_{1}} | \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

| \vec{F_{2}} |

entspricht dem

s

im Dreieck rechts, einem gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck. Die Länge der beiden gleich langen Schenkel

x

kann man wieder über den Satz des Pythagoras ausrechnen:

s^{2} = x^{2} + x^{2} = 2 \cdot x^{2} \Rightarrow x^{2} = \frac{s^{2}}{2} \Rightarrow x = \sqrt{\frac{s^{2}}{2}} = s \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} = s \cdot \sqrt{\frac{2}{4}} = s \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = | \vec{F_{2}} | \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

.

Bei der Berechnung des Winkels war ich etwas zu sehr den Vektoren verhaftet. Man kann das tatsächlich viel einfacher rechnen. Es ist:

tan (α) =

(y-Komponente von

\vec{F_{3}}

)/(x-Komponente von

\vec{F_{3}}) = \frac{- 1660.6}{3464.5} = - 0.4793 \Rightarrow α = - 25.61

Grad.

Viele Grüße
Yokozuna

madcaddie123 aktiv_icon

18:41 Uhr, 01.03.2011

wunder bar riesen dankeschön...

habe die kraft allerdings anderst ausgerechnet...
habe die nebenkräfte berechnet und dadruch bin cih draufgekommen

aber dein ansatz hat mich acuh die idee gebracht...
wobei du eigenltihc das gleihce gemacht hast :-D)

naja egal
und das mit dem tangens hät ich mir auch denken können
manchmal sieht man den wald vor lauter bäumen nicht

habe allerdings noch eine aufgabe die mir schwierigkeiten bereitet.
ich bin einfach der meinung das sie nicht lösbar ist
vllt kannst du mir hier ja auch helfen

ermitteln sie

a)

grafisch und

b)

analytisch die an den abgebildeten stellen

S 1

und

S 2

angreifende Kraft

F

und ihren Winkel a zur Vertikalen. bei der beide seiel mit der maximalen Kraft von

1100 N

beansprucht werden.

ich häng mal weider ne skizze an

die kraft wirkt wohl nach unten mit

1100 N

der winkel ist unbekannt
von den seilen weiß ich die winkel aber jedoch keinen abstand.
wo soll ich da anfangen?
mir fehlt einfach ein maß
oder ist es so dass jdes seil mit

1100 N

belastet wird?

madcaddie123 aktiv_icon

18:49 Uhr, 01.03.2011

und ich hätte da noch ne aufgabe bei der ich net weiter weiß...

: (

statik ist einfach nciht mein ding

madcaddie123 aktiv_icon

19:13 Uhr, 01.03.2011

ok die aufgabe hab ich gelöst :-D)

habe

F 1280 N

und einen winkel von 85°

vllt könntest du es mir ja noch bestätigen

zur nächsten aufgabe

Die spannrolle einr spannvorrichtung ist mit einem Pendelstab in Punkt A gelagert Afu sie wirklen die eigengewichtskraft FGR=240N, der stab, die riemenkräfte und ein zugseil, das über eine hilfsrolle mit FG zieht.
ermitteln sie zeichnerisch die Gewichtskfraft FG und die Pendelstabkraft SA bei der die Kraft in dem Riemen

S = 420 N

beträgt. Überlegen sie vorher die auswirkung der Seilkräfte auf die Spannrolle

habe wieder ne skizze angehängt
ist nicht ganz maßstäblich aber hab die winkel und alles angegeben.
hoffe sie sit eindeutig

ich möchte nicht als "schnorrer" dastehen
wie gesagt ich möchte denkanstöße und hilfestellungen und nciht nur die lösung erfragen. obwohl ich dafür auch dankbar wäre.

Yokozuna aktiv_icon

20:34 Uhr, 01.03.2011

Hallo,

bei der vorletzten Aufgabe habe ich rechnerisch

1262 N

und als winkel zur senkrechten habe ich 5 Grad (Du hast den Winkel gegenüber der Horizontalen berechnet!).

In Deinem letzten Posting kann ich leider keine Zeichnung sehen und nur vom Text her ist es etwas schwierig, sich die Situation vorzustellen. Vielleicht kannst Du da bzgl. der Zeichnung nochmal was machen.

Viele Grüße
Yokozuna

madcaddie123 aktiv_icon

20:42 Uhr, 01.03.2011

hmm dann versuch ichs nochmal

Yokozuna aktiv_icon

17:38 Uhr, 02.03.2011

Hallo,

jetzt kann ich das Bild sehen (auch im vorletzten Posting von Dir). Ich hänge jetzt bei meinem Posting auch ein Bild an, damit ich die Situation besser klären kann.

Also bei FGR, FG und der Kraft SA längs des Pendelstabes ist klar, daß die im Mittelpunkt der Spannrolle angreifen. Aber wie ist es mit der Kraft im Seil. Im Seil wirkt eine Kraft von

420 N, d . h .,

von der Spannrolle senkrecht nach oben wirkt im Seil eine Kraft von

| \vec{S_{1}} | = 420 N,

aber auch in der anderen Richtung (45-Grad-Winkel schräg nach rechts unten) wirkt eine Kraft von

| \vec{S_{2}} | = 420 N

. Die Resultierende dieser beiden Kräfte (blau dargestellt) geht durch den Mittelpunkt der Spannrolle (da die beiden Kräfte gleich groß sind), siehe hierzu die Darstellung im Bild links. Deshalb kann ich das Kräfteparallelogramm so verschieben, daß alle Kräfte im Mittelpunkt der Spannrolle angreifen, die Gesamtwirkung aber gleich bleibt, so wie in der Darstellung in der Mitte.

In der Darstellung im Bild rechts habe ich nach diesem Vorspiel die Gesamtsituation an der Spannrolle dargestellt. Es greifen folgende Kräfte an: FGR (rot),

S_{1}

und

S_{2}

(orange), FG (blau) und SA (grün). Wie in der Statik üblich, muß die Summe aller angreifenden Kräfte 0 ergeben (sonst ist es keine Statik mehr, sondern Dynamik), also:

FG

+

+

FGR

+ S_{1} + S_{2} = 0

Wir kennen nur FGR,

S_{1}

und

S_{2}

. FG und SA sind zu bestimmen. Zunächst können wir nur die Summe FG

+

SA (das ist der violette Vektor in der Darstellung rechts) bestimmen, indem wir die vorstehende Gleichung danach auflösen:

FG

+

SA = -(FGR

+ S_{1} + S_{2})

Es ist FGR

= (\begin{matrix} 0 \\ - 240 \end{matrix}), S_{1} = (\begin{matrix} 0 \\ 420 \end{matrix})

und

S_{2} = (\begin{matrix} 420 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ - 420 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 297 \\ - 297 \end{matrix})

(da ist wieder dieses

\frac{\sqrt{2}}{2},

aber das kann man auch über

cos (45

Grad) bzw.

sin (45

Grad) rechnen).

\Rightarrow

FGR

+ S_{1} + S_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ - 240 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 420 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 297 \\ - 297 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 297 \\ - 117 \end{matrix})

\Rightarrow

+

= - (\begin{matrix} 297 \\ - 117 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 297 \\ 117 \end{matrix})

Jetzt müssen wir diesen Vektor nur noch in 2 Teilvektoren zerlegen, einen in Richtung der negativen x-Achse und einen im 60-Grad-Winkel zur x-Achse:

FG

= a \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix}),

= b \cdot (\begin{matrix} - cos (60) \\ sin (60) \end{matrix}) = b \cdot (\begin{matrix} - 0.5 \\ 0.866 \end{matrix}) \Rightarrow

a \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix}) + b \cdot (\begin{matrix} - 0.5 \\ 0.866 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 297 \\ 117 \end{matrix})

Dies ergibt 2 Gleichungen für a und

b :

- a - 0.5 \cdot b = - 297

0.866 \cdot b = 117

Das ergibt

a = 229.5

und

b = 135.1

. Damit erhalten wir:
FG

= a \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix}) = 229.5 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 229.5 \\ 0 \end{matrix})

und
SA

= 135.1 \cdot (\begin{matrix} - 0.5 \\ 0.866 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 67.6 \\ 117.0 \end{matrix})

sowie
|FG|

= 229.5

und |SA|

= 135.1

Bezüglich der Kräfte im Seil bin ich mir nicht ganz zu

100 %

sicher, deshalb gebe ich hier diese Lösung ohne Gewähr (beim Lotto machen sie es auch so).

Viele Grüße
Yokozuna

madcaddie123 aktiv_icon

18:27 Uhr, 02.03.2011

vielen vielen dank

habe nach der erklärung von dir besser bescheid gewusst...

bin immer auf den einzelnen rollen hängen geblieben und nicht auf die idee gekommen alle in einem punkt zusammen zufassen

und die restliche erklärung war super.

vielen dank nochmal

werd dann mal die 2te statik lerneinheit anfangen...
falls ich schwierigkeiten ahb weiß ich ja wo ich mich melden muss :-)

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