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stetig differenzierbar, Lipschitzstetig

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Lipschitzstetigkeit, Mittelwertsatz, stetig differenzierbar, Stetigkeit

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18:12 Uhr, 03.12.2013

Beweisen Sie mithilfe des Mittelwertsatzes: Ist f:-D)

\to R

stetig differenzierbar und
ist |f´(x)| auf

D

beschränkt, dann ist

f

Lipschitz-stetig mit

| f (x) - f (y) | \leq max z \in D

|f´(z)|*|x-y|.
Ich weiß dass wenn eine Funktion stetig differenzierbar ist, ist die Funktion differenzierbar und die Ableitung dieser Funktion stetig ist . Und Mitttelwertsatz sagt:

\frac{f (x) - f (y)}{x - y} =

f´(c)

, c \in D

. Aber ich weiß es nicht wie man das beweisen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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18:57 Uhr, 03.12.2013

Ich nehme an

D

soll ein Intervall sein, steht da irgendwas in der Aufgabe zu? Also wie man anzufangen hat ist klar: Wähle

x, y \in D

beliebig mit

x < y

. Laut Mittelwertsatz gibt es dann ein

c \in (x, y) \subseteq D

mit

f (y) - f (x) = f' (c) \cdot (y - x)

also auch

| f (y) - f (x) | = | f' (c) | \cdot | y - x |

. Nun musst du noch die Information, dass

| f' (x) |

auf

D

beschränkt ist zum Abschätzen benutzen. Allerdings sehe ich nicht warum das Maximum unbedingt existieren muss. Schau bitte nochmal nach was über

D

in der Aufgabe steht.

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19:04 Uhr, 03.12.2013

In der Frage steht nichts weiteres.

D

ist ein Intervall.

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19:13 Uhr, 03.12.2013

Dann würde ich

max

durch

s u p

ersetzen.

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19:20 Uhr, 03.12.2013

Kann das nicht machen. Ich muss die Aussage beweisen wie so die ist.

z

muss einfach das größte Element in

D

sein.

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19:24 Uhr, 03.12.2013

Nimm

f : (0,1) \to ℝ, x \mapsto \frac{1}{2} x^{2}

dann ist

f

stetig differenzierbar und

f' : (0,1) \to ℝ, x \mapsto x

ist beschränkt, aber die Menge

f' ((0,1)) = (0,1)

hat kein Maximum.

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19:28 Uhr, 03.12.2013

Es gibt kein lokales Maximum aber es gibt globales Maximum an der Stelle

x = \sqrt{2}

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19:32 Uhr, 03.12.2013

???????

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19:35 Uhr, 03.12.2013

Ist

(0,1)

ein offenes Intervall?

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19:38 Uhr, 03.12.2013

Bei der Frage ist

| \frac{d}{d x} f (z) |

Lipschitzkonstante und

z

ist dabei das größte Element der Menge D.

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19:44 Uhr, 03.12.2013

Ja klar ist

(0,1)

ein offenes Intervall. Kurz und schmerzlos: Schreibe

s u p

statt

max

und alles wird gut...

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19:47 Uhr, 03.12.2013

Hier ist ein Bld von der Aufgabe.

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19:51 Uhr, 03.12.2013

Meiner Meinung nach ist das ein Fehler in der Aufgabenstellung.

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20:11 Uhr, 03.12.2013

Ich denke dass das kein Fehler ist. Es ist egal ob

z

das größte Element des Intervalls ist. Es ist nur wichtig das es im Intervall ist.

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20:19 Uhr, 03.12.2013

Ich verstehe nicht was du meinst. Oben habe ich ein Gegenbeispiel genannt.

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20:22 Uhr, 03.12.2013

Ich verstehe das Beispiel nicht ganz.

\frac{1}{2} x^{2}

mit einem offenen Intervall

(0,1)

hat ein globales Extremum an der Stelle

x = 1

. Also die Funktion hat das größte Wert bei

x = 1

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20:34 Uhr, 03.12.2013

1 gehört nicht zum Intervall

(0,1)

. Aber es geht hier auch darum, dass

| f' (x) |

kein Maximum auf

D

haben muss.

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20:39 Uhr, 03.12.2013

Ja es muss nicht unbedingt ein Maximum haben. Aber es kann auch ein Maximum haben.

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20:40 Uhr, 03.12.2013

Richtig und dieses Problem kann man umgehen, indem man

s u p

statt

max

schreibt.

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20:41 Uhr, 03.12.2013

Und wenn man das so schreibt wie kann ich weiter rechnen?

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20:43 Uhr, 03.12.2013

Naja in meinem ersten Beitrag steht ja schon so gut wie alles.

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20:54 Uhr, 03.12.2013

Ich hab einpaar Werte gegeben.

z . B

. für

f (x) = x^{2}

mit

[0,100]

wird es

| 100^{2} - 99^{2} | \leq 2 \cdot z \cdot (100 - 99)

und damit

99,5 \leq z

je größer die Zahlen a und

b

mit der Diferenz von 1 werden desto mehr nähert sich

z

zum Maximum.

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20:57 Uhr, 03.12.2013

Aha und was willst du jetzt damit?

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20:59 Uhr, 03.12.2013

Das heißt wenn man

L

bei diesem Fall

| \frac{d}{d x} f (z) |

möglichst groß wählt, dann wird die Ungleichung richtig für alle Werte.

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21:07 Uhr, 03.12.2013

Was willst du denn ständig mit deinem

\frac{d}{d x} f (z)

? Wenn deine Funktion von

z

abhängt und du nach

x

ableitest kommt doch null raus. Ich war oben schon so gut wie fertig. Es fehlte nur noch der Schritt

| f (y) - f (x) | = | f' (c) | \cdot | y - x | \leq s u p_{z \in D} | f' (z) | \cdot | y - x |

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21:11 Uhr, 03.12.2013

ich meinte

\frac{d}{d z} f (z)

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21:13 Uhr, 03.12.2013

also ich leite zuerst die Funktion ab nd dann setze das Wert

z

ein

z . B

f (x) = x^{2} \frac{d}{d x} f (x) = 2 x

dann

\frac{d}{d x} f (z) = 2 \cdot z

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21:16 Uhr, 03.12.2013

Das schreibt man dann als

\frac{d}{d x} f (x) |_{x = z}

. Jedenfalls sehe ich den Thread als beendet an, denn es steht schon alles da was ich dazu zu sagen habe. Tschüss.

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21:20 Uhr, 03.12.2013

Danke. Tschüss.

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21:29 Uhr, 03.12.2013

Bitte.

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