Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » stetig differenzierbare Umkehrfunktion

stetig differenzierbare Umkehrfunktion

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Umkehrfunktion

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
user13120

user13120 aktiv_icon

15:51 Uhr, 02.08.2022

Antworten
Hallo Leute. Ich komme bei der folgenden Aufgabe bei einem Zwischenschritt nicht weiter.

Die Aufgabe: Es sei F:22,F(x,y)=(sin(x),(x+1)cos(y))

a) Zeige, dass F überall stetig diffbar ist und bestimme die Jacobi Matrix

b) Zeigen Sie, dass eine offene Umgebung U von p0=(0,π2) existiert, so dass F:UF(U) bijektiv ist mit stetig differenzierbarer Umkehrfunktion G:F(U)U

c) Bestimmen Sie das Taylorpolynom ersten Grades von G am Entwicklungspunkt qo=F(po)

bei a) habe ich keine Probleme, aber ich versteh irgendwie nicht ganz, wie eine Lösung zu b) aussehen soll. Wenn ich b) habe, sollte ich mit c) auch zurecht kommen.
Kann mir also jemand bei b) helfen? :-)

kurz zu a) Partiellen Ableitung sind stetig, also auch stetig diffbar und JF(x,y) =
(cos(x),0
cos(y),-(x+1)sin(y))


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

16:00 Uhr, 02.08.2022

Antworten
Hallo,

die Ableitung J:(x,y)(cos(x)0cos(y)-(x+1)sin(y)) ist ja stetig.

Damit ist auch die Abbildung detJ:(x,y)det(cos(x)0cos(y)-(x+1)sin(y)) stetig, da det stetig ist (müsste man natürlich verwenden dürfen).

Insebsondere ist det(J(0,π2))0. Da stetig, gibt es eine ganz Umgebung, innerhalb der detJ noch ungleich Null ist.

Reicht das?

Mfg Michael
user13120

user13120 aktiv_icon

16:22 Uhr, 02.08.2022

Antworten
Hallo MichaL, danke für deine Hilfe. Damit ist dann gezeigt, dass die Abbildung F um U herum lokal invertierbar ist, richtig? Wie genau kommt man dann auf die Abbildung G?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

16:37 Uhr, 02.08.2022

Antworten
Hallo,

ja, damit erhält man, dass die Abbildung um p0 herum lokal invertierbar ist.
Die Abbildung G muss nicht explizit angegeben werden (selbst wenn das vielleicht nicht unmöglich ist).

Es reicht der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion, um die Differenzierbarkeit (und vermutlich auch die Stetigkeit der Ableitung) zu beweisen.

Mfg Michael
user13120

user13120 aktiv_icon

17:24 Uhr, 02.08.2022

Antworten
Achso ich ging erst von aus, dass man es für c) braucht, aber es ist ja gar nicht nötig. Könntest du mir noch bei c) mit dem Umkehren der Funktionen helfen? Irgendwie komme ich da immer durcheinander

Es gilt

F(p0)=(sin(0),cos(π2))=(0,0)=q0

Das Taylorpolynom 1. Grades von G am Entwicklungspunkt q0=F(p0) ist dann

G(q0)+DG(q0)(x,y).
Weiter gehts dann mit

G(q0)=(F(q0))-1=p0=(0,π2)
und
DG(q0)=DG(F(p0))=(DF(p0))-1=((cos(0),0,cos(0),sin(0)))-1=((1,0,1,0))-1.
Ab hier komme ich leider nicht weiter.

Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

18:44 Uhr, 02.08.2022

Antworten
Hallo,

ich habe nicht nachgerechnet.
Aber: "-1" steht in diesem Fall doch für die Bildung der Kehrmatrix?!
Das sollte doch machbar sein, oder?

Mfg Michael
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.