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stetig und beschränkt, nicht gleichmäßig stetig

Universität / Fachhochschule

Tags: Stetigkeit

 
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miera

miera aktiv_icon

17:27 Uhr, 14.12.2022

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Man zeige, dass die Funktion g:(0,1]→ℝ gegeben durch

g(x) :=

n(n+1)x-n, für x∈[1n+1,1n],falls n∈ℕ ungerade,

-n(n+1)x+n+1, für x∈[1n+1,1n],falls n∈ℕ gerade,


stetig und beschränkt, aber nicht gleichmäßig stetig ist.



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Punov

Punov aktiv_icon

20:39 Uhr, 14.12.2022

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Guten Abend, miera!

Als erstes solltest du dir eine Vorstellung davon machen, wie der Graph von g überhaupt aussieht. Dazu betrachte g(x) für x∈In:=[1n+1,1n]. Ist n ungerade, ist g auf In linear wachsend von 0 nach 1; ist n gerade, ist g auf In linear fallend von 1 nach 0. Je größer n wird, desto schmaler wird In und desto näher liegt es bei 0. Der Graph von g sieht also aus wie eine Art "Sägeblatt", wobei die Breite der Zacken immer schmaler wird, je näher wir 0 kommen. Die Amplitude der Zacken ist aber immer gleich (daraus kann man anschaulich schon erahnen, dass keine gleichmäßige Stetigkeit gelten kann, aber man muss es natürlich formal begründen, Tipp hierzu siehe unten).

Die Beschränktheit ist dann sofort klar und für die Stetigkeit kannst du leicht argumentieren, dass in jedem Punkt links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.

Was die gleichmäßige Stetigkeit angeht, wähle die Folgen (xn)n∈ℕ und (yn)n∈ℕ mit xn:=1n und n ungerade sowie yn:=1n und n gerade.


Viele Grüße
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