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stetige Ergänzbarkeit, mehrdimensional

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Ergänzbarkeit, Mehrdimensional, Stetigkeit

Studiosi aktiv_icon

15:33 Uhr, 23.06.2018

Hallo liebes Forum,

ich hätte hier mal eine Frage bezüglich stetiger Ergänzbarkeit einer Funktion.

Sei

f (x, y) = \frac{l o g (1 + ∣ x y ∣^{n})}{x^{2} + y^{2}}

mit

x^{2} + y^{2} > 0

und

n \in 1, 2

Geprüft werden soll im Punkt

(x, y) = (0, 0)

.
Für n =1 habe ich bereits folgendermaßen geprüft mithilfe des Epsilon Delta Kriteriums und würde gerne wissen, ob das bereits so korrekt ist.

Sei

0 < ∣ ∣ (x, y) - (0, 0) ∣ ∣ < δ

∣ f (x, y) - 0 ∣ = ∣ \frac{l o g (1 + ∣ x y ∣)}{x^{2} + y^{2}} ∣ \leq \frac{∣ x y ∣}{x^{2} + y^{2}} \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{\sqrt{y^{2} + y^{2}}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} < δ = ε

Damit wäre ja gezeigt, dass die Funktion außerhalb von (0,0) stetig ist und mit dem Funktionswert 0 an der Stelle (0,0) stetig ergänzbar.

Soweit richtig?

Für n = 2 frage ich mich nun, ob ich einfach ähnlich eine Abschätzung treffen muss, oder ob man da direkt sehen kann, weshalb es geht bzw. nicht gehen kann.

Vielen Dank für die Mithilfe, ich würde mich über Antworten freuen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

19:47 Uhr, 23.06.2018

Hallo
einfach dasselbe noch mal oder gleich allgemein mit

n

. am besten ln(1+|xy|) direkt durch den Anfang der Taylorreihe um 0 ersetzen.
Gruß ledum

Studiosi aktiv_icon

02:15 Uhr, 24.06.2018

Alles klar vielen Dank :-)

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