Startseite » Forum » stetigkeit des Integrals in L1 und L2 Norm

stetigkeit des Integrals in L1 und L2 Norm

Universität / Fachhochschule

19:36 Uhr, 05.08.2021

Hallo nochmals,
bei der bin ich mir grad auch net sicher, ob das passt.
Also nun zur Aufgabe:
Seien

a < b

Zahlen und

E^{0} ([a, b])

der Vektorraum aller stetigen Funktionen auf

[a, b]

.
Sei

\int_{a}^{b} : E \to ℝ

die Integralabbildung.
1. Zeige

\int_{a}^{b}

ist stetig fuer die

L^{1} N o r m .

2. Zeige

\int_{a}^{b}

ist stetig fuer die

L^{2} N o r m .

Ansatz:
(1) Seien

f, g \in E

und

ε > 0

gegeben. Waehle

δ = ε

, sodass

∣ f - g ∣_{1} < ε

impliziert

∣ \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x ∣ = ∣ \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x ∣ \leq \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x = ∣ f - g ∣_{1} < ε .

(2) Sei

ε > 0

und waehle

δ = ε / C

mit

∣ f - g ∣_{2} < ε / C .

Dann gilt mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung

∣ f - g ∣_{1} = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x \leq (\int_{a}^{b} 1 d x)^{1 / 2} (\int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣^{2} d x)^{1 / 2} \leq C ∣ f - g ∣_{2} .

Damit erhalten wir wie bei (1)

∣ \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x ∣ \leq ∣ f - g ∣_{1} \leq C ∣ f - g ∣_{2} < ε .

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

19:46 Uhr, 05.08.2021

Hallo,

ja, das ist richtig.

Gruß pwm

21:29 Uhr, 05.08.2021

Hallo pwmeyer,
ich danke dir fuer deine Antwort und wuensch dir nochn schoenen Restabend^^.

1540449

1540439

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?