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stetigkeit von funktionen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Stetigkeit

julia92 aktiv_icon

20:37 Uhr, 28.11.2011

hey ich weiß nicht wie ich diese Aufgaben lösen soll ,hoffe das mir jemand helfen kann.

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf stetige Fortsetzbarkeit

a)

Die Funktion

f : ℝ

{

1}->RR,f(x)=

((x^{2} + 1, x < 1), (3 - x, x > 1)

ist in

a = 1 \to ((

1)stetig Fortsetzbar oder( 2)nicht stetig Fotsetzbar)
Die stetige Fortsetung

g

von

f

hat in

x = 1

den Funktionswert

g (1) =

b)

f : ℝ

{

2}->

ℝ, f (x) = ((x^{2} + 1, x < 2), (3 - x, x > 2)

ist in

a = 2 \to ((

1)stetig Fortsetzbar oder( 2)nicht stetig Fotsetzbar)
Die stetige Fortsetung

g

von

f

hat in

x = 1

den Funktionswert

g (2) =

c)

Die Funktion

f :

{

\to ℝ, f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

ist in

a = 1 (

stetig fortsetzbar/ nicht stetig fortsetzbar)
Die stetige Fortsetzung

g

von

f

hat in

x = 1

den Funktionswer

g (1) =

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Nick76 aktiv_icon

22:34 Uhr, 28.11.2011

a)

Die Funktion

f

ist für

x = 1

stetig fortsetzbar, wenn der rechtsseitige
und linksseitige Grenzwert von

f

bei

x = 1

übereinstimmen.

Es gilt für den linksseitigen Grenzwert:

lim_{x \to 1} f (x) = lim_{x \to 1} (x^{2} + 1) = 2

und für den rechtsseitigen:

lim_{x \to 1} f (x) = lim_{x \to 1} (3 - x) = 2

Die beiden Grenzwerte stimmen überein, also ist

f

stetig fortsetzbar mit

g (1) = 2

b)

geht analog zu

a)

c)

Es gilt

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = (x + 1) \cdot \frac{x - 1}{x - 1} = (x + 1)

für

x \neq 1

Der links- und rechtsseitige Grenzwert von

f (x) = x + 1

bei

x = 1

ist

2,

also ist

f

stetig fortsetzbar mit

g (1) = 2

julia92 aktiv_icon

18:17 Uhr, 29.11.2011

hallo,
kannst du bitte dbei der

c)

diesen schritt erklären:

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = (x + 1) \cdot \frac{x - 1}{x - 1} = (x + 1)

?

verstehe ich nicht

. .

julia92 aktiv_icon

18:17 Uhr, 29.11.2011

hallo,
kannst du bitte dbei der

c)

diesen schritt erklären:

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = (x + 1) \cdot \frac{x - 1}{x - 1} = (x + 1)

?

verstehe ich nicht

. .

pleindespoir aktiv_icon

19:14 Uhr, 29.11.2011

\frac{x - 1}{x - 1} = 1

irgendwas mal 1 = irgendwas

julia92 aktiv_icon

19:19 Uhr, 29.11.2011

ich verstehe nciht wie ich auf von

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

auf

\frac{x - 1}{x - 1}

komme und wieso nehme ich das dann mal (x+1)???

pleindespoir aktiv_icon

19:21 Uhr, 29.11.2011

x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)

3. binomische !!!

julia92 aktiv_icon

19:35 Uhr, 29.11.2011

ok danke . kannst du mir auch bei diesen 2 aufgaben helfen?

1) f : ℝ {0} \to ℝ, f (x) = e^{\frac{1}{x}}

ist in

a = 0

(stetig -,nicht stetig fortsetzbar) . Die stetige Fortsetzung

g

von

f

hat in

x = 0

den Funktionswert

g (0) =

?

und das selbe für

2) f (x) = e^{- (\frac{1}{| x |})}

1) lim f (x) = lim (e^{\frac{1}{x}}) =

wie berechne ich dies?

(x \to 0) (x \to 0)

pleindespoir aktiv_icon

19:54 Uhr, 29.11.2011

immer nur eine Aufgabe ...

warum hat das e noch den Exponent 1 ?

wo kommt das a auf einmal her?

Ist das der komplette Aufgabentext ?

julia92 aktiv_icon

20:02 Uhr, 29.11.2011

der aufgabentext ist der selbe wie der im ersten post...

Untersuchen sie die folgende Funktion auf stetige Fortsetzbarkeit
Die Funktion:

f : ℝ

{

\to ℝ, f (x) = e^{\frac{1}{x}}

ist in

a = 0

(stetig fortsetzbar , nicht stetig fortsetzbar)
Die stetige Fortsetzung

g

von

f

hat in

x = 0

den Funktionswert

g (0) =

pleindespoir aktiv_icon

20:03 Uhr, 29.11.2011

Ahhh - ein wenig editiert ...

lim_{x \to 0} e^{(\frac{1}{x})}

ist also gefragt ?

julia92 aktiv_icon

20:06 Uhr, 29.11.2011

ja ob sie stetig fortsetzbar ist und wenn ja ,welchen wert sie bei 0 hat... soweit ich es verstanden habe.

als erstes muss ich doch

x = 0 \in f (x)

einsetzen oder? also wie bei der aufgabe

1)

pleindespoir aktiv_icon

20:14 Uhr, 29.11.2011

also das sieht nicht danach aus, als ob man da einen konkreten Funktionswert bekäme ...

Eins durch Null ist unendlich - auch wenn man sich dem in winzigen Schrittli nährt und e hoch unendlich ist ja noch unendlicher.

julia92 aktiv_icon

20:20 Uhr, 29.11.2011

ok das heißt die funktion ist in

a = 0

nicht stetig fortsetzbar?
aber dann wäre im prinzip auch

f (x) = e^{- \frac{1}{| x |}}

nicht stetig fortsetzbar ,weil

- \frac{1}{x}

gegen - unendlich geht und mit

e

dann noch verstärkt...

pleindespoir aktiv_icon

20:24 Uhr, 29.11.2011

e^{- \infty}

hat einen definierten Wert

julia92 aktiv_icon

20:37 Uhr, 29.11.2011

hmmm

e^{- \infty} = 0

?
aber wie kann ich jetzt konkret die stetigkeit berechnen
wenn ich jetzt

x = 0 \in e^{- \frac{1}{0}}

seinsetze bekomme ich aber keinen funktionswert-...

pleindespoir aktiv_icon

20:55 Uhr, 29.11.2011

e^{- \infty} = \frac{1}{e^{\infty}}

e^{\infty} = \infty

\frac{1}{\infty} = 0

julia92 aktiv_icon

20:59 Uhr, 29.11.2011

?????? wie soll ich das jetzt berechnen?

e^{- \infty} = \frac{1}{e^{- \infty}}

ich hab jetzt ma

\frac{1}{e^{- 0}}

eingesetzt und bekomme

= 1

also stetig bei

g (0) = 1

pleindespoir aktiv_icon

21:09 Uhr, 29.11.2011

"aber dann wäre im prinzip auch

f (x) = e^{- \frac{1}{∣ x ∣}}

nicht stetig fortsetzbar"

Die äusseren Enden hätten wir ja nun, aber bei der Null gibts wohl noch Probleme:

f (x) = e^{- \frac{1}{∣ x ∣}}

man muss sie fragliche Stelle von links und von rechts angehen:

von "links":

f (- 0) = lim_{h \to 0} e^{- \frac{1}{0 - h}}

und
von "rechts":

f (+ 0) = lim_{h \to 0} e^{- \frac{1}{0 + h}}

julia92 aktiv_icon

21:24 Uhr, 29.11.2011

f (0^{-}) = lim (h \to 0) e^{- (\frac{1}{0 - (- h)} = 0}

f (0^{+}) = lim (h \to 0) e^{- (\frac{1}{0 - h})} = 0

pleindespoir aktiv_icon

21:56 Uhr, 29.11.2011

guck nochmal genau - bei beiden sollte das Gleiche rauskommen - somit stetig, aber nicht differenzierbar

julia92 aktiv_icon

22:01 Uhr, 29.11.2011

kommt nicht das selbe raus :

e^{- (\frac{1}{0 - 1})} = 2,718

e^{- (\frac{1}{0 - (- 1)} = 0,367}

pleindespoir aktiv_icon

22:08 Uhr, 29.11.2011

h soll ja auch Null werden und nicht Eins

julia92 aktiv_icon

22:13 Uhr, 29.11.2011

e^{\frac{1}{0 - 0} = e^{\frac{1}{0}} = \infty}

e^{\frac{1}{0 - (- 0)} = \infty}

g (0) \Rightarrow \infty

?

mein lehrer meinte dass jedoch falls einer der zwei stetig ist eine zahl rauskommt und nicht

\infty

pleindespoir aktiv_icon

22:32 Uhr, 29.11.2011

Da hat er nicht unrecht ... in dem obigen Fall kmmt jedenfalls kein Sprung der Funktion vor, da sie von beiden Seiten gleichmässig zu einem (allerdings undefinierten) Punkt

P (0 ∣ \infty)

strebt.

Definiert man Sprungfreiheit für Stetigkeit, dann ist das stetig.

Definiert man hinzu, dass der Punkt nicht unendlich sein darf, dann nicht.

julia92 aktiv_icon

22:36 Uhr, 29.11.2011

ich bin gerade voll verwirrt... also jetzt doch nicht stetig?
aber ich habe gedacht wenn der linksseitige und rechtsseitige grenzwert gleich sind gilt stetigkeit

?

pleindespoir aktiv_icon

22:44 Uhr, 29.11.2011

Dachte ich auch - aber wie ist das wenn der Genzwert eben kein bestimmter Wert, sondern unendlich ist?

Keine Ahnung - aber Dein Lehrer wird sich sicher freuen, wenn Du ihn konkret danach fragst. Dann weisst Du auch ob er Punkte dafür gibt in der Arbeit.

pleindespoir aktiv_icon

23:11 Uhr, 30.11.2011

Habe mich grade mal bei einem "Matheguru" informiert:

Also Stetigkeit kann nur da vorliegen, wo die Funktion auch definiert ist.

An der Stelle x=0 liegt eine Definitionslücke vor - also braucht man da garnicht erst nach Stetigkeit zu untersuchen, weil an der entsprechenden Stelle die Funktion nicht definiert ist.

also man hätte sich ne Menge action gepart, wenn man das vorher gewusst hätte ...

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