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stetig in der Definitionslücke fortsetzen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Funktionen

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Stetigkeit

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12:59 Uhr, 21.01.2017

Wie löse ich folgende Aufgabe. Könnte mir jemand vielleicht

a)

vorrechnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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14:01 Uhr, 21.01.2017

.
" Könnte mir jemand vielleicht

a)

vorrechnen?"

\to

klar, das könnten hier viele

. .

.

aber was nutzt das ..du kannst ja offenbar nicht lesen ?
.. (siehe oben) .. versuch es vielleicht nochmal

\to

""Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg.
(setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt
und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) "

.

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17:08 Uhr, 21.01.2017

Eine stetige Funktion ist an einer Definitionslücke

x_{0}

genau dann stetig fortsetzbar, wenn limx→x_o

f (x)

existiert.
Also muss ich die Funtion links und rechts gegen

- 2

laufen. Ich weiß, dass die Funktion nicht stetig ist.
Warum muss man die Fkt rechts und links gegen einen GW laufen? Und wie schreibe ich das mit

lim

auf?
Wie müsste die Begründung aussehen?

rundblick aktiv_icon

18:05 Uhr, 21.01.2017

f (x) = \frac{1}{x + 2}

.
" Also muss ich die Funtion links und rechts gegen

- 2

laufen.!

iP. ja .. genauer: du lässt

\to x

von links und rechts gegen

- 2

laufen und
schaust, was dabei mit dem Funktionswert

f (x)

passiert..

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

" Und wie schreibe ich das mit

lim

auf?"

zB so

\to

\to

linksseitiger Grenzwert

\to lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = .

\to

rechtsseitiger Grenzwert

\to lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = .

.

Beispiel :

x \to - 2^{+} \to

gelesen->

x

geht von grösseren Werten (dh fallend von rechts) gegen

- 2

zB->

- 1, .

- 1,5, .

- 1,8, .

- 1,9, .

- 1,99, .

- 1,999, .

. usw

\to - 2^{+}

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

" Wie müsste die Begründung aussehen?"

lim_{x \to - 2^{+}} [\frac{1}{x + 2}] = + \infty . .

. gelesen

\to

der rechtsseitige GW existiert nicht;

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

f (x)

wächst über jede Grenze wenn

x \to - 2^{+}

lim_{x \to - 2^{-}} [\frac{1}{x + 2}] = - \infty . .

. gelesen

\to

der linksseitige GW existiert nicht;

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

f (x)

fällt unter jede Grenze wenn

x \to - 2^{-}

Merke:
und wenn auch nur einer dieser Grenzwerte nicht existiert,
dann ist

f \to

NICHT stetig an der Stelle

also hier hast du es gleich doppelt:

f

ist an der Stelle

x = - 2

NICHT stetig
und hier kann man nachdoppeln:

f

hat an der Stelle

x = - 2

eine "unendliche" Sprungstelle mit Vorzeichenwechsel
dh

x = - 2

ist für

f (x) = \frac{1}{x + 2}

eine POLstelle mit Vorzeichenwechsel

ganz allgemein kannst du dir merken:

wenn irgend eine Funktion

y = f (x)

an einer Stelle

x = a

eine Def-Lücke hat,
dann ist sie nur in diese Stelle stetig fortsetzbar,
wenn sowohl

\to lim_{x \to a^{_}} f (x) .

. als auch

lim_{x \to a^{+}} f (x) .

. beide existieren
UND wenn beide gleich sind, also der GW an der Stelle

x = a

existiert=>

lim_{x \to a^{_}} f (x) = lim_{x \to a^{+}} f (x) = lim_{x \to a} f (x)

alles klar?
.

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12:31 Uhr, 22.01.2017

Danke.

bei

b

muss ich die Funktion gegen 0 laufen lassen. Muss ich das auch von den beiden Seiten machen? Ich weiß, dass dort am Ende der Grenzwert 1 rauskommt und dass die Funktion stetig fortsetzbar ist. Jedoch weiß ich nicht, wie man auf das Ergebnis kommt.

Respon

12:43 Uhr, 22.01.2017

Du könntest die Reihenentwicklung von