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stochastische und fast sicher Konvergenz diskret

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

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17:58 Uhr, 19.12.2018

Ich möchte beweisen, dass in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum

(Ω, P (Ω), P)

(

P (Ω)

soll die Potenzmenge von

Ω

sein)
gilt, dass stochstische Konvergenz äquivalent zu fast sicher Konvergenz ist.
Mir fehlt noch die Richtung stochastische Konvergenz

\Rightarrow

fast sicher Konvergenz
Meine Ansätze bisher:
Sei

{(X_{n})}_{n \in ℕ}

eine Folge von Zufallgrößen über

(Ω, P (Ω), P)

welche stochastisch gegen

X

konvergiert,

d . h

. für alle

ε > 0

gilt:

P (| X_{n} - X | > ε)

konvergiert gegen 0.
Zu zeigen ist, dass

P ({ω \in Ω : lim_{n \to \infty} X_{n} (ω) = X (ω)}) = 1

Da der Raum diskret ist, weiß man, dass

P ({ω}) \geq 0

für alle

ω \in Ω

und

\sum_{ω \in Ω} P ({ω}) = 1 d . h

. man kann folgern

P ({ω \in Ω : P ({ω}) > 0}) = 1

Hilft mir das weiter um das gewünschte zu beweisen? Und wenn ja, hat jemand einen Tipp wie ich weitermache? Vielen Dank schon mal im Varaus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

09:58 Uhr, 20.12.2018

Betrachten wir einfach mal ein beliebiges

ω \in Ω

mit

δ := P ({ω}) > 0

.

Aus

lim_{n \to \infty} P (∣ X_{n} - X ∣ > ɛ) = 0

folgt, dass es ein

n_{0} = n_{0} (ɛ)

gibt mit

P (∣ X_{n} - X ∣ > ɛ) < δ

für alle

n \geq n_{0}

, daraus folgt offenbar

∣ X_{n} (ω) - X (ω) ∣ \leq ɛ

für diese

n

sowie unser

ω

von oben, denn andernfalls wäre

P (∣ X_{n} - X ∣ > ɛ) \geq P ({ω}) = δ

zu groß!

Das kann man nun für alle

ɛ > 0

machen, also folgt

lim_{n \to \infty} X_{n} (ω) = X (ω)

für unser

ω

.

Wir haben damit: Aus

P ({ω}) > 0

folgt

lim_{n \to \infty} X_{n} (ω) = X (ω)

. (*)

Wie du richtig festgestellt hast, gilt in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum aber

P ({ω \in Ω : P ({ω}) > 0}) = 1

, mit (*) folgt somit

1 = P ({ω \in Ω : P ({ω}) > 0}) \leq P ({ω \in Ω : lim_{n \to \infty} X_{n} (ω) = X (ω)})

,

fertig.

Alnura aktiv_icon

17:08 Uhr, 20.12.2018

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Habe es nun sehr gut verstande! LG

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