 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » submultiplikative Norm + Neumannreihe
submultiplikative Norm + Neumannreihe
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen
 
|
  |
|---|
|
Es sei eine Norm in mit für alle Zeige: Ist und , so ist konvergent gegen ((E-A) hoch minus 1) (wobei die Einheitsmatrix bezeichne) Hier handelt es sich ja offensichtlich um eine geometrische Reihe, wobei der Grenzwert in der Angabe genau der Grenzwert ist, den wir seid Ana I kennen. Und sogar die Konvergenzbedingung ist gleich, nämlich, dass der Betrag <1 sein muss. Meine Frage ist nun, wieso ich bitte hier überhaupt die Submultiplikativität brauche? Es scheint ja sowieso bloß eine Wiederholungsaufgabe zu sein um die geometrische Reihe wiederzuerkennen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
Geometrische Reihen gibt's zuerst mal nur für Zahlen. Hier hast Du aber keine Zahlen. Versuche Deine Argumentation sorgfältig aufzuschreiben, dann wirst Du sehen, dass es ohne nicht geht. |
 |
|
Habe ich dich richtig verstanden. Du meinst, ich soll zeigen, dass: (i) mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium, dass die Reihe überhaupt konvergiert (ist ja nicht selbstverständlich). Und bei dieser Normabschätzung mittels Cauchydifferenz werde ich dann bei genauerer Betrachtung sehen, dass ich ohne der Submultiplikativität nichtmal die Konvergenz zeigen kann. (ii) Dass die Reihe auch wirklich gegen diesen Wert konvergiert, was auch nicht selbstverständlich ist, weil es nicht Zahlen sondern Vektoren sind. |
|
|
|
Das muss man nicht in zwei Schritten zeigen. Die Argumentation ist ganz ähnlich wie bei der "normalen" geometrischen Reihe: usw. Aber die Konvergenz ist die Normkonvergenz, dazu brauchst Du also zu zeigen, dass ... |
|
|
|
Also, ich brauche nichtmal Cauchy-Kriterium?!? :O Aber wie kann ich dann berechnen? :O |
|
|
|
Na, da brauchst Du ja gerade die Eigenschaft . Denn daraus folgt . Und wenn dann ... |
|
|
|
Ah, super, diese Einfachheit war mir vorher noch nicht aufgefallen. Das tolle ist, dass das nun auf eine reelle Zahl<1 zurückgeführt wird und wir dann eine Nullfolge als Mojorante haben. Aber wie rechtfertige ich, dass wir hier überhaupt Matrixpotenzen betrachten dürfen und dass ich die Herleitung des Grenzwertes so wie bei der geometrischen Reihe machen darf? |
|
|
|
"Aber wie rechtfertige ich, dass wir hier überhaupt Matrixpotenzen betrachten dürfen und dass ich die Herleitung des Grenzwertes so wie bei der geometrischen Reihe machen darf?" Und warum muss man das rechtfertigen? :-O Ich finde die Vorstellung, dass man Matrixpotenzen bei der Aussage, in welcher gerade um Matrixpotenzen geht, betrachtet darf, irgendwie logisch. Du nicht? :-) |
|
|
|
Ich habe gedacht, man müsse hier mit Eigenwerttheorie begründen, warum so eine seltsame Summe überhaupt wohldefiniert ist! Du meinst die Submultiplikativität reicht völlig aus- so wie wir das besprochen haben - und man muss nicht Cauchy verwenden. |
|
|
|
"warum so eine seltsame Summe überhaupt wohldefiniert ist!" Was ist denn daran seltsam? :-O Darf man Matrizen nicht miteinader addieren und multiplizieren? |
|
|
|
Seltsam finde ich die Idee, Matrizen für Konvergenzüberlegungen heranzuziehen! |
|
|
|
"Seltsam finde ich die Idee, Matrizen für Konvergenzüberlegungen heranzuziehen!" Konvergenz ist ein Begriff, der in erster Linie für einen allgemeinen topologischen Raum definiert ist. Ein normierter Raum ist nur ein besonderer Fall eines topologischen Raumes, daher gibt's auch in einem normierten Raum Konvergenz. Und aus Matrizen kann man ja auf natürliche Weise einen normierten Raum bilden. Und Du bist vermutlich wieder so ein armer Mensch, der Konvergenz auf reellen Zahlen gelernt hat. Total verdorben. :-) |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
1270672
1270600