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summenformel in bruch umwandeln

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Summenformel

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21:30 Uhr, 23.04.2016

Hey :-)
Verzweifle grade an einer Aufgabe. Hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

Habe die Aufgabe im Anhang hochgeladen. Verstehe alles bis zur 3.Zeile.
Das man von

n \cdot \sum_{i = 1}^{n} i

auf

\frac{n^{2} (n + 1)}{2}

kommt, indem man den Gauß anwendet, kann ich nachvollziehen.
Aber wie man von

\sum_{i = 2}^{n} (i - 1) \cdot i

auf

\frac{n \cdot (n^{2} - 1)}{3}

kommt, kann ich einfach nicht verstehen. Hättet ihr einen Tipp für mich.
Wäre euch wirklich sehr dankbar.

lg shad

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

21:36 Uhr, 23.04.2016

Für jedes

k

gilt

(k + 1)^{3} - k^{3} = k^{3} + 3 k^{3} + 3 k + 1 - k^{3} = 3 k^{2} + 3 k + 1

.

Daher

n^{3} - 1 = n^{3} - (n - 1)^{3} + (n - 1)^{3} - (n - 2)^{3} + (n - 2)^{3} - . . . + 2^{3} - 1^{3} = \sum_{k = 1}^{n - 1} ((k + 1)^{3} - k^{3}) =

= \sum_{k = 1}^{n - 1} (3 k^{2} + 3 k + 1) = 3 \sum_{k = 1}^{n - 1} k^{2} + 3 \sum_{k = 1}^{n - 1} k + n = 3 \sum_{k = 1}^{n - 1} k^{2} + 3 \frac{n (n - 1)}{2} + n

.

Das gibt die Formel für

3 \sum_{k = 1}^{n - 1} k^{2}

. Der Rest sollte klar sein.

ledum aktiv_icon

21:46 Uhr, 23.04.2016

Hallo

\sum i^{2} - \sum i

wenn du

\sum i^{2}

nicht weisst nachsehen
oder die ganze Formel per Induktion zeigen,
Gruß ledum

shadowXP aktiv_icon

21:53 Uhr, 23.04.2016

Ich glaube ich verstehe nicht, wie man die Summenformel in einen Bruch verwandelt, wenn man nicht bei

i = 1

beginnt. Weil sonst könnte man doch den Gauß mit

\frac{n \cdot (n + 1)}{2}

nehmen.
Fühle mich grad total blöd, weil ich das nicht verstehe..

DrBoogie aktiv_icon

21:57 Uhr, 23.04.2016

Wenn man nicht bei

i = 1

beginnt, dann beginnt man einfach bei

i = 1

\sum_{i = 2}^{n} a_{i} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} - a_{1}

, das gilt für alle Folgen

a_{i}

shadowXP aktiv_icon

22:14 Uhr, 23.04.2016

Ok, ich konnte die Aufgabe endlich lösen.
Vielen, vielen Dank an euch beide. Ihr habt meinen Abend gerettet.

lg shad

1303106

1303085

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