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sup -A = -inf A

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: Beschränktheit, Infimum, Supremum

SoNyu

18:49 Uhr, 30.07.2013

Hallo, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Sei

- A := (- 1) A

. Beweise die folgenden Sätze unter geeigneten Beschränktheitsvoraussetzungen (welchen?) für A und B.

a)

sup (- A) = - inf A

Zur Beantwortung auf die Frage nach geeigneten Beschränktheitsvoraussetzungen habe ich

A

folgendermaßen definiert:

Sei

A \neq \emptyset

nach oben beschränkt.
Dann existiert ein

a \in ℝ

, so dass

x \leq a \forall x \in A

ist.
Da

A

eine nicht leere nach oben beschränkte Menge ist, besitzt diese nach dem Supremumsprinzip ein Supremum

S

.
Daher gibt es für jedes

ε > 0

mindestens ein

x \in A

mit

x > S - ε

Nun ist

- A := (- 1) A

also

(- x) < ε + (- S)

Jetzt meine Frage:

Ist der Ansatz okay, und bis hier in richtig?
Wie fahre ich nun weiter fort?
Ich muss ja irgendwie nun auf die Form

- inf A

kommen.

Das Infimum ist ja so definiert:

x < s + ε

Drehen sich dann beim

- inf

die Vorzeichen überall?

Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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19:47 Uhr, 30.07.2013

Dass

- s u p (- A)

untere Schranke von

A

ist, ist schnell einzusehen. Nun muss noch gezeigt werden, dass es die größte untere Schranke ist. Nehme an

M > - s u p (- A)

wäre untere Schranke von

A

und leite daraus einen Widerspruch her.

SoNyu

21:56 Uhr, 30.07.2013

Meine obigen Überlegungen sind also "Müll"?

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23:40 Uhr, 30.07.2013

A \neq \emptyset

muss nicht nach oben beschränkt sein, sondern nach unten, so dass

- A

dann nach oben beschränkt ist. Wenn du dann

S := s u p (- A)

definierst, folgt:

\forall ε > 0 \exists x \in (- A) : x > S - ε

also

\forall ε > 0 \exists x \in A : - x > S - ε

also

\forall ε > 0 \exists x \in A : x < - S + ε

Nun reicht das alleine allerdings nicht ganz aus, um nachzuweisen, dass

i n f (A) = - S

ist. Man muss zusätzlich noch zeigen, dass

- S

auch eine untere Schranke von

A

ist, aber das ist nicht so schwierig, wie oben schon erwähnt. Das kannst du ja mal versuchen.

SoNyu

18:06 Uhr, 31.07.2013

Also ich zeige nun, dass die nicht leere nach unten beschränkte Menge

A

ein Infimum besitzt indem ich von

A

(- 1) A

übergehe.

A

ist nach unten beschränkt also gibt es ein

a \leq x

Dann ist

(- A)

mit

- a \geq - x

nach oben beschränkt und hat ein Supremum

S

.

Also ist

- x \leq S

und somit

x \geq - S

. Daher gibt es ein

- x_{0} > S - ε

, weshalb

x_{0} < (- S) + ε

ist.

Und dies entspricht nun der Definition des Infimums. Also ist

inf A = (- S)

Geht das so in Ordnung?

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18:15 Uhr, 31.07.2013

Ich verstehe nicht was du mit dem aufgeschriebenen bezwecken willst. Um

i n f (A) = - S

(wobei

S = s u p (- A))

nachzuweisen, kannst du wie schon gesagt folgende zwei Sachen zeigen:

- \forall ε > 0 \exists x \in A : x < - S + ε

- \forall x \in A : x \geq - S

Den ersten Teil habe ich dir im letzten Beitrag vorgerechnet, den zweiten musst du noch zeigen.

SoNyu

18:21 Uhr, 31.07.2013

Aber habe ich nicht genau das getan? Also diese zwei Sachen gezeigt?

Ich habe gezeigt, dass

x

(bei mir eben

x_{0}

)

< (- S) + ε

Und

x \geq - S

habe ich oben auch gezeigt.
Es sei den es ist falsch wie ich es gemacht habe.

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18:42 Uhr, 31.07.2013

Vermutlich meinst du schon das richtige, aber es ist nicht nachvollziehbar/falsch aufgeschrieben.
Die Aussage "

A

ist nach unten beschränkt also gibt es ein

a \leq x

" müsste zum Beispiel korrekt so lauten:

A

ist nach unten beschränkt also

\exists a \in ℝ \forall x \in A : a \leq x

SoNyu

18:45 Uhr, 31.07.2013

Das hatte ich diesmal, aus Faulheit, weggelassen, weil ich es im ersten Post ja bereits erwähnt hatte. (Da jedoch eben für eine nach oben beschränkte Menge, und hielt es dann nicht mehr für notwendig, weil ich davon ausgegangen bin, dass klar ist was ich meine.)

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20:12 Uhr, 31.07.2013

Bei sowas solltest du versuchen möglichst präzise zu sein, lieber zu viel als zu wenig schreiben.

SoNyu

20:29 Uhr, 31.07.2013

Okay, ich dachte nur es wäre klar, was ich meine.

Ist es den nun korrekt wie ich es oben gemacht habe?

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21:14 Uhr, 31.07.2013

Die Idee ja, aber nicht schön aufgeschrieben.

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