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surjektiv / injektiv bei Kompositionen
Universität / Fachhochschule
Tags: Abbildung, injektiv, Komposition, surjektiv
 
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Hi Ich muss folgende Aussagen mit wahr oder falsch bewerten: Seien A, B, C Mengen und 1) wenn surjektiv ist, dann sind f und g auch surjektiv 2) wenn injektiv ist dann sind f und g auch injektiv Ich denke beide Aussagen sind falsch. Zu 1): g muss surjektiv sein, da bei g komponiert mit f ja f das Urbild(g) zu Bild(g) ist und das ganze Ding nur surjektiv sein kann wenn g surjektiv ist. f muss nicht surjektiv sein 1. wie schreib ich das formal richtig und 2. wie beweise ich dass f nicht surjektiv sein muss? Einfach ein Beispiel skizzieren? Zu 2): Analog zu 1) nur dass diesmal f injektiv ist und g nicht injektiv sein muss. Gruß, Sebastian Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, die Aussagen, deren Wahrheitsgehalt du überprüfen sollst, haben einen versteckten Quantor, den Allquantor. Soll heißen, wenn du zeigen willst, dass die eine Aussage nicht (immer) gilt, reicht halt die Angabe eines (geeigneten) Gegenbeispiels. Finde also eine Kombination von Abbildungen , , sodass surjetkiv ist, aber nicht zugleich auch UND surjektiv sind. Dir wird sicher leicht eines einfallen. Tipp: Je einfacher das Gegenbeispiel, desto besser! Das gleiche gilt natürlich prinzipiell auch für die zweite Aufgabe. Mfg Michael |
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Danke für deine Antwort! Also könnte z.B. sagen: Dann wäre f nicht surjektiv aber und schon? Oder kann ich nicht einfach so die Zielmengen festlegen wie ich will um die Surjektivität zu beeinflussen? Hast du vielleicht ein besseres (richtiges) Beispiel? |
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Hallo, dein Beispiel ist in Ordnung. Stelle dir jetzt die Frage, woran es (genau) liegt, dass nicht surjektiv zu sein braucht. Lasse dann alle Elemente weg, die den Missstand nicht zeigen (bis auf höchstens eines). Ebenso brauchst du nicht mehr als ein Element, das auf das Problem aufmerksam macht. Daraus konstruierst du dann eine Art minimales Beispiel. Mfg Michael PS: Es reicht ein Beispiel mit endlichen Mengen. Man sieht daran auch mehr! |
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Naja f muss nicht surjektiv sein solange g surjektiv ist. Weil nur das entscheidend ist. Ich könnte mit g eine beliebige Menge auf eine Menge mit einem Element abbilden. Dann wäre g in jedem Fall surjektiv. Mit f könnte ich eine Menge mit einem Element auf eine Menge mit zwei Elementen abbilden. Dann ist die Abbildung in jeden Fall nicht surjektiv weil ich sonst die Eindeutigkeit der Abbildung verletzen würde? Ich denke das bekomme ich hier nicht richtig dargestellt aber es würde z.B. reichen wenn ich drei Mengen in Klammern hinschreibe und zwischen den entsprechenden Elementen ein paar Pfeile die den Fall zeigen? Oder muss man das irgendwie formal hinschreiben? Das war meine erste Idee aber ich dachte das ist vielleicht etwas zu einfach Wie würdest du das lösen? |
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Hallo, deine Idee ist richtig. Aufschrieb (z.B.) wie folgt: . Das ist übrigens schon für beide Sachen ein Gegenbeispiel ;-) |
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Danke! |
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