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surjektive und injektive linerae Abbildungen
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Bild Marix, injektiv, Kern, Lineare Abbildungen, surjektiv
 
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Hallo OnlineMathe, ich habe Probleme mit folgender Aufgabe. Ich kenne die Bedeutung von den Begriffen surjektivität und injektivität, jedoch kann ich sie leider nicht in dem Kontext der Aufgabe richtig einordnen. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Also eine lineare Abbildung ist injektiv wenn jedes element des Definitionsbereichs auf nur einen punkt im zielbereich abgebildet wird. Eine Abbildung die mehrere vektoren auf einen einzelnen punkt abbildet wie zB eine projektion wäre dementsprechend nicht injektiv. Für die Injektivität ist der Kern wichtig. Der Kern ist die Menge der Vektoren des Definitionsraum welche auf den Nullvektor abgebildet werden. Surjektiv ist eine Abbilung, wenn die Dimension der Teilmenge des Zielraum, auf dem alle Vektoren abgebildet werden, der Dimension des Zielraums enstpricht. Diese Teilmenge des Zielraumes auf welchen alle VEktoren abgebildet werden nennt man Bild. Beispiel: Nehmen wir an eine Abbilung wäre eine Projektion die alle vektoren im 3-dimensionalen Vektorraum auf die ,y-ebene klatscht. Hätten dein Definitionsraum und dein Zielraum die Dimension von dann wär sie weder injektiv noch surjektiv. Warum? Die gesamte z-achse würde auf den Nullvektor projeziert werden. Die z-achse ist eine gerade und damit hätte der Kern die dimension 1. Somit kann die Abbildung schonmal nicht injektiv sein da mehrere Vektoren nämlich alle auf der z-achse liegenden auf einen Punkt abgebildet werden. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da die Teilmenge auf den alle Vektoren abgebildet werden eine ebene ist, also 2-dimensional. Das bild hat damit die dimension 2. Da wir aber den Zielraum mit festgelegt haben wird nicht auf jedes Element im Zielraum abgebildet und die Abbildung ist nicht surjektiv. Wäre der Zielraum mit der Dimension dann entspräche die Dimension des Bildes der des Zielraumes und die Abbildung wäre surjektiv. Ich hoffe ich konnte dir etwas helfen. |
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